自治系統 (數學)

在數學中，一個動力系統被稱為自治（駐定）的，若且唯若這個系統由一組常微分方程組成，並且這些方程的表達式與動力系統的自變量無關。

在有關物理的動力系統中，自變量通常是時間。這時自治系統通常表示其中的物理規律不隨時間變化的系統，也就是說空間中每一點的性質在過去、現在和將來都是一樣的。

自治系統是動力系統中很重要的一個組成部分。理論上說，所有的動力系統都可以轉化為自治系統。

定義

形式上來說，一個自治系統是一個常微分方程：

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$

其中 x 在n-維歐幾里得空間中取值，而 t 是自變量，一般表示時間。

注意到自治系統是一般的常微分方程組中的一個特例。常微分方程的一般形式為：

${\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)$

物理上來說，這表示空間中一點的性質不僅取決於它的位置，還取決於時間：在不同的時間，經過此一點的質點或粒子會受到不同的影響。

性質

對於一個自治系統，任意初值問題：

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(t_{0})=y_{0}$

都等價於

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(0)=y_{1}$

其中的 y₁ 是一個可以由 y₀ 確定的值。

參見

• 時不變系統
• 連續動力系統
• 本迪克森-杜拉克定理
• 向量場

參考資料

• 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社。