數學中,高斯圓問題(英語:Gauss circle problem)問以原點為中心,
為半徑的圓內,有多少個整數點。答案與圓的面積相近,因此,真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。
考慮
中以原點為中心和以
為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點
使
和
都是整數。由於在笛卡爾坐標系中,這個圓的方程式是
,問題等價於詢問有多少對整數
和
使得
![{\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732dd50db08fdc3983dd9061bebf67a489986748)
以
表示輸入為
時的答案。以下第一行先列出
由
至
時,
的值,第二行列出
四捨五入到最接近的整數,以作比較:
- 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (OEIS數列A000328)
- 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (OEIS數列A075726)
大概是
,半徑範圍內的區域
。這是因為平均而言,每個單位正方形包含一個格子點。因此,圓中格子點的實際數量大約等於其面積,
。因此,應該預期
![{\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e2269898a06770a4517527b17ab859bf08087f)
對於某些錯誤項
具有相對較小的絕對值。找到正確的上限
因此是問題採取的形式。注意
不必是整數。後
一個有
在這些地方
之後它減少(以
),直到下一次增加為止。
高斯設法證明[1]
![{\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ed536a4c78ffb14f566025102984534505df64)
謝爾品斯基將指數改進至
,以大O符號表示,即證明
,約翰內斯·范德科皮特引進了他關於外爾和的估計,從而證明了指數為
的結果(此數略小於
)。以後不少數學家改進這一結果。中國數學家華羅庚與陳景潤分別證得指數為
與
的上界。[2]
未解決的數學問題:設
![{\displaystyle E(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee1487ea5b5cba78e648e2020eed6ac3016bcde)
表示以原點為圓心,
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
為半徑的圓,其面積與圓內整點數之差,則使
![{\displaystyle |E(r)|=O(r^{t+\varepsilon })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8982e5cafc063e5f35d8ec50c9898e93ab7c819a)
對一切
![{\displaystyle \varepsilon >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
皆成立的最小
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
值為何?
下界方面,哈代[3]和Landau分別獨立證明
![{\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d955c0877cc100da54465cfcc847c79c7972e8)
其中用到小o表示。據推測[4],正確的界線是
![{\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ef4d7bade8361fb936f79bb27f3dd70fd3509e)
設
總成立,則關於
的最小可能值
,目前所知的結果是
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c0297ce080ec9eb6a9f865630638ddca9bdf98)
其中下界是1915年Hardy和Landau所證,上界於2000年由馬丁·赫克斯利證明。[5]
的值可以由幾個形式給出,例如以下取整函數表示成以下和式: [6]
![{\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eef71e528bb8ff23f29a82bf2dd240b39edf22f)
這是雅可比二平方和定理的結果,該定理來自雅可比三重積。[7]
如果將平方和函數
定義為將自然數
寫為兩個整數平方之和的方法數,則
是一個積性函數[8],且可寫出較簡單的和式:[1]
![{\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f60c952c6d4d334a833f35ffe6beded03ce724b)
Hardy首次發現了以下的最新成果: [9]
![{\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad11553746e7e54cf80899cfa7cbeaaa8c69e4f1)
其中
表示第一種階數為1的貝塞爾函數。
儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數,但沒有理由不考慮其他形狀,例如圓錐形。的確,狄利克雷(Dirichlet)的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣,可以將問題從二維擴展到更高的維度,並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一,則可能會增加問題中出現的指數,從平方到立方,甚至更高次方。
另一個概括是計算互質整數解數量
的不等式
![{\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723e280aeed52046d8a4c1a756c062bf7cf0166d)
此問題稱為原始圓問題,因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量
然後的值
為了
取小整數值是
- 0,4,8,16,32,48,72,88,120,152,192 (OEIS中的數列A175341)
使用與普通的高斯圓問題相同的方法,以及兩個整數互質的概率為
,容易證明
![{\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35b66c925795fbd73f13496648644e07e2b569e)
與普通的圓問題一樣,原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確,目前最著名的指數是
。在不假設黎曼猜想正確的情況下,最著名的上限是
![{\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3863918f2c41c0aede7917bc97c1d34f7d281a76)
其中
為正常數 。 [10]特別是,目前不假設黎曼猜想正確的情況下,對於任何
,
的誤差項沒有限制。
- ^ 1.0 1.1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.
- ^ 王元. 数学大辞典. 高斯圆问题. Ke xue chu ban she. 2017. ISBN 7-03-053336-4. OCLC 1124964888.
- ^ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283.
- ^ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366.
- ^ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR1956254
- ^ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.
- ^ Hirschhorn, Michael D. Partial fractions and four classical theorems of number theory. 美國數學月刊. 2000, 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615
. JSTOR 2589321. doi:10.2307/2589321.
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A002654. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Landau, Edmund. Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band. Verlag S. Hirzel. 1927: 189.
- ^ J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.