Lp範數

$L_{p}$-範數（英語：$L_{p}$-norm，亦稱$\ell _{p}$-範數、$p$-範數)是向量空間中的一組範數。$L_{p}$-範數與冪平均有一定的聯繫。它的定義如下：

$L_{p}({\vec {x}})=\lVert {\vec {x}}\rVert _{p}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p},\qquad {\vec {x}}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\,p\geqslant 1.$

$p$ 的不同取值

圖中的$q$即是$L_{p}$範數中的$p$。這是當$p$取不同值時，在$\mathbb {R} ^{2}$空間上的$L_{p}$-範數等高線的其中一條。該圖展現了各$L_{p}$-範數的形狀。

• $p=-\infty$: $\lVert {\vec {x}}\rVert _{-\infty }=\lim _{p\to -\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\min _{i}|x_{i}|$。
• $p=0$：$\lVert {\vec {x}}\rVert _{0}=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\neq 0\right]$，也就是所有$x_{i}$中，不等於零的個數。注意，這裏的$L_{0}$-範數並非通常意義上的範數（不滿足三角不等式或次可加性）。
• $p=1$：$\lVert {\vec {x}}\rVert _{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|$，即$L_{1}$-範數是向量各分量絕對值之和，又稱曼哈頓距離。
• $p=2$: $\lVert {\vec {x}}\rVert _{2}={\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$，此即歐氏距離。
• $p=+\infty$: $\lVert {\vec {x}}\rVert _{\infty }=\lim _{p\to +\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\max _{i}|x_{i}|$，此即無窮範數或最大範數，亦稱柴比雪夫距離。

在機器學習中的應用

主條目：正則化 (計算機科學)

在機器學習中，為了對抗過擬合、提高模型的一般化能力，可以通過向目標函數當中引入參數向量的$L_{p}$-範數來進行正則化。其中最常用的是引入$L_{1}$-範數的$L_{1}$-正則項和引入$L_{2}$-範數的$L_{2}$-正則項；前者有利於得到稀疏解，後者有利於得到平滑解。