SO(3)上的卡

在數學中，三維空間內的特殊正交群，也被稱為旋轉群的SO(3)，是一個典型的流形。在不同的SO(3)上的卡中，建立的坐標系互不相同:從這個角度講，不能說哪種參數很適合描述旋轉。由於存在三個自由度，因此SO(3)的維數是3。在不同的應用中需要使用不同的坐標系，因此如何從一個坐標系轉換到另一個坐標系是一個潛在的問題。

旋轉空間

在幾何中，旋轉群是所有關於三維歐幾里得空間R³原點的，具有複合函數的旋轉矩陣組成的群。 根據定義，關於原點的旋轉是保持向量的長度和空間方向（即左旋或右旋）不變的線性變換。保持長度不變而逆轉方向的變換叫做非合理旋轉。三維歐幾里得空間內在正常旋轉後面接着做關於經過原點平面的反射。

兩個旋轉的複合是一個新的旋轉；每個旋轉都有唯一的逆旋轉；且存在么元（單位矩陣）。基於上面這些性質，所有旋轉矩陣組成的集合是擁有複合操作的群。而且，旋轉群因其操作是光滑的而具有天然的流形結構；因此，它也是一個李群。旋轉群經常用SO(3)表示，其原因將在下面解釋。

旋轉空間與旋轉操作以及「行列式為1的正交矩陣」之間是拓撲同構的。它還與內積操作下的四元數表示，以旋轉向量和由其對應矩陣構建的複合操作構成的空間同構。

旋轉的向量表示法最開始來源於歐拉旋轉定理中描述的任何三維空間中的旋轉都可以用一系列旋轉軸和旋轉角來表示。這樣，我們可以用球面坐標的兩個角度表示旋轉軸，再用向量的長度表示旋轉角。這些向量就構成了在三維空間內的具有特殊拓撲結構的球。

可視化超球體

我們可以把所有繞xy平面內軸旋轉構成的空間當成三維空間內的球體$S^{3}$，也就是四維歐幾里得空間內的圓盤的邊界。我們首先要用四維嵌入曲面上的點表示一個旋轉。

用半徑來表示旋轉角度的方法並不是顯而易見的。這和在球體上定義北極點後形成的緯度線有關，在下面會詳細解釋。

我們用三維空間球體的北極點作為單位旋轉的對應點。對於單位旋轉來說，無法定義旋轉軸，旋轉角度（0）也是無關緊要的。對應於一個非常小轉角的旋轉可以用平行於xy平面，並且非常接近於北極點的一個小橫截面表示。由這個橫截面產生的圓非常的小，對應於小的旋轉角。當旋轉角度變大時，橫截面向南移動，圓的半徑一直變大直到到達球體的赤道，對應於180度的旋轉角。繼續往南移動，圓的半徑會變小，對應於旋轉角度的絕對值變小。最終，到達南極點之後，圓環又歸於一點。雖然這裏只考慮xy平面內的旋轉，通過這種可視化，三維旋轉的很多特性和表示方法都可以顯示出來。

旋轉矩陣式連續的，每個旋轉都有一個與其幾乎相同的近鄰，當取的近鄰足夠小時變成平的。

別名

另外，每個旋轉都可以用球面上的兩個對極點表示，就是通過球心的連線的另一端。這表明每個旋轉都可以用關於某個軸旋轉某個角度，或者關於相反的軸旋轉相反的角度（就是所謂的復疊）。圓環所處的「緯度」是旋轉角度的一般，因為從北極到南極，緯度值一共改變了180度，而旋轉的角度可以從0度到360度。「經度」則用來表示xy平面內的轉軸。但是這樣形成的旋轉集合併不是封閉的。

兩個連續的繞xy平面內轉軸的旋轉的複合不一定形成一個轉軸在xy平面內的旋轉，因此這個旋轉就不能在三維球面上表示了。這和三維空間內的旋轉不同，其旋轉在複合下是封閉的。

這種可視化可以擴展到三維空間的旋轉。單位旋轉式一個點，一個小角度的旋轉可以表示為一個小半徑的球面。當旋轉的角度增大時，球面也變大，知道旋轉角度到達180度，從這裏開始球面開始隨角度變大而收縮，到360度時重新回到一個點（也可以理解為負向的0度）。這一系列擴張和收縮的球面組成了四維空間內的超球面（一個三維球面）。

就像繞xy平面軸旋轉的簡單例子一樣，每個超球面上點都和其對極點想對應。超球面的「緯度」代表着旋轉角度的一半，隨着領域每個點的領域都變得越來越「平」（可以利用三維歐幾里得空間的點表示）。

這種現象與用單位四元數表示旋轉的方式相吻合：一個四元數代表四維空間內的一個點，將其長度約束為1後就可以得到四維空間的球面，也就是一個三維空間。單位四元數具有單位長度，對應於超球面的單位半徑。

單位四元數的向量部分表示旋轉軸所對應的二維球面，其強度對應於旋轉角度一半的正弦值。每個旋轉都可以用兩個符號相反的單位四元數表示，而且對於三維旋轉空間來說，兩個單位四元數的四元積產生一個新的單位四元數。另外，當領域無窮小時，單位四元數空間也變得越來越「平」。