討論:稜錐

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關於我看到的[編輯]

不知是否瀏覽器的問題，我仿看到「解析失敗」：

稜錐的體積取決於平面外頂點到底面的距離，以及底面多邊形的面積。前者稱為稜錐的高，後者稱為稜錐的底面積。設h 為稜錐的高，S為稜錐的底面積，V 為稜錐的體積，則稜錐的體積可以用以下公式計算[4]:93：

解析失敗 (未知錯誤): V = \frac{1}{3} S h

這個公式早在公元三世紀就得到了證明。現代的證明一般使用積分。假設有稜錐PA1A2...An，其中A1A2...An為底面的n邊形，P為稜錐頂點。設P在底面的投影為Q點，PQ的長度為h。在線段PQ上取一點X，使得線段PX的長度為x：0 ≤ x ≤ h，那麼過點X而且與底面平行的平面截稜錐得到的形狀是一個和底面的n邊形相似的n邊形，記作Ax1Ax2...Axn，它的面積Sx與底面積S的比值等於PX與PQ的比值的平方：

解析失敗 (未知錯誤): \frac{S_x}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.

在點X附近截取的「一片」稜錐「切片」，它的體積大約等於：解析失敗 (未知錯誤): dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy


所以稜錐的體積等於積分： 解析失敗 (未知錯誤): V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h.


對於正稜錐，假設它的底面是正n邊形，邊長為a，高是h，那麼底面積是：S = \frac{n a^2}{4}\cot \frac{\pi}{n}. 所以它的體積是：

V = \frac{n a^2 h}{12} \cot \frac{\pi}{n}.

表面積[編輯]

稜錐的側面展開圖是由各個側面組成的，展開圖的面積，就是稜錐的側面積Sc 解析失敗 (未知錯誤): S_c =\sum_{i=1}^n S_i ，其中S_i , i=1,2 \cdots , n是第 i 個側面的面積。 稜錐的表面積等於稜錐的側面積Sc加上底面積S。假設頂點的投影Q點到第 i 個側面對應的底邊的距離是di，底邊的長度是ai，那麼稜錐的側面積： 解析失敗 (未知錯誤): S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12 \sum_{i=1}^n a_i \sqrt{h^2 + d_i^2}.

對於正n稜錐，頂點到底面的投影是底面正n邊形的中心。所以投影點到每一邊的距離都相等：解析失敗 (未知錯誤): d_1 = d_2 = \cdots = d_n = d. 因此稜錐的斜高也就是側面三角形的高：解析失敗 (未知錯誤): l = \sqrt{h^2 + d^2}. 稜錐的側面積[4]:87：

解析失敗 (未知錯誤): S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12 l \sum_{i=1}^n a_i = \frac12 lp. 其中p是底面正n邊形的周長。假設底面正n邊形的邊長是a，高是h，那麼它的周長是na，中心到每一邊的距離是解析失敗 (未知錯誤): \frac{a}{2} \cot \frac{\pi}{n} 。所以斜高是：解析失敗 (未知錯誤): \sqrt{ h^2 + \frac{a^2}{4} \cot^2 \frac{\pi}{n} } ，側面積是： 解析失敗 (未知錯誤): S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12 na \sqrt{ h^2 + \frac{a^2}{4} \cot^2 \frac{\pi}{n}}.

--Iflwlou [ M {  2013年9月23日 (一) 09:20 (UTC)[回覆]

我個人猜測可能是網速不夠導致網頁等待時間過長request time out的後果，我自己也碰到過。我現在在自己電腦上看是沒有解析失敗的問題。我想還是要到技術版問一下。—Snorri（留言） 2013年9月23日 (一) 09:29 (UTC)[回覆]

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