儒歇定理

在數學，特別是複分析中，儒歇定理（Rouché's theorem）說明：如果復值函數 f 與 g 在一條閉曲線 C 內部及邊界上全純，在 C 上滿足 |g(z)| < |f(z)|，則 f 與 f + g 在 C 內部零點個數相同，這裏零點按重數計算。該定理假設曲線 C 是簡單的，即沒有自交點。

儒歇定理通常用於簡化局部零點問題。給定一個解析函數，將其寫為兩部分，一部分比較簡單且比增長要快於（從而控制）另一部分。例如，多項式 $z^{5}+3z^{3}+7$ 在圓盤 $|z|<2$ 內恰有五個零點，因為對任何 $|z|=2$ 有 $|3z^{3}+7|<32=|z^{5}|$，並且控制部分 $z^{5}$ 在圓盤內有五個零點。

這個定理以法國數學家歐仁·儒歇（Eugène Rouché，1832-1910）命名，該定理1862年發表於《綜合理工大學校期刊》39期（Journal de l'École Polytechnique 39 (1862)）。

由於兩條曲線「距離」「很小」，h(z) 和 f(z) 的旋轉情況是很相似的。

幾何解釋

可以給出一個非正式的解釋，說明儒歇定理為何成立。

首先將定理稍微改寫一下。令 h(z) = f(z) + g(z)，注意到 f，g 全純（解析）意味着 h 也全純。和上面的假設一樣，則儒歇定理說

如果 |f(z)| > |h(z) − f(z)|，則 f(z) 與 h(z) 在 C 的內部有同樣多零點。

注意到條件 |f(z)| > |h(z) − f(z)| 意味着對任何 z，f(z) 與原點的距離大於 h(z) − f(z) 的長度。如圖所示，這說明對任何藍曲線上的點，連接該點與原點的線段大於相應的綠線段。非正式地，可以說紅曲線 h(z) 總是比原點更接近藍曲線 f(z)。

但上一段說明了由於 f(z) 恰好繞零點一圈，故 h(z) 同樣如此，即兩條曲線在零點的指標相同。由輻角原理（argument principle），這意味着 f(z) 與 h(z) 的零點個數相同。

一個流行的、非正式的表述將如上討論總結為：如果一個人用皮帶牽着一條狗繞一棵樹（視為一個點）不停轉，且皮帶的長度小於樹的半徑，則這個人與狗繞過這棵樹的次數相等。（事實上，可以看到儒歇定理的逆不成立，只要皮帶的長度小於樹的周長。）

應用

考慮多項式 $z^{2}+2az+b^{2}$（這裏 $a>b>0$）。由二次方程求根公式，有兩個零點 $a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$。因為

對所有 $|z|=b$，有 $|z^{2}+b^{2}|\leq 2b^{2}<2a|z|,$

儒歇定理說此多項式在圓盤 $|z|<b$ 內部恰有一個零點。因為 $a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ 顯然在圓盤外部，得出這個多項式有一個零點在 $a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ 處。這種討論在應用柯西留數定理處理局部留數時很有效。

儒歇定理也能用來給出代數基本定理一個簡短證明。設 $p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n}$，總可以選取實數 $R$ 足夠大，使得對所有 $|z|=R,$

$|a_{0}+a_{1}z+...+a_{n-1}z^{n-1}|\leq \sum _{j=1}^{n}|a_{j}|R^{n-1}<|a_{n}|R^{n}=|a_{n}z^{n}|.$

因為 $a_{n}z^{n}$ 在圓盤 $|z|<R$ 內部有 $n$ 個零點，由儒歇定理 $p$ 在這個圓盤內部也有同樣多零點。

這個證明與其它證明比較，一個優點是不僅證明了多項式至少有一個零點而且指出零點個數和多項式的次數相等（和通常一樣計算重數）。

儒歇定理的另一個運用是用來證明解析函數的開映射定理（open mapping theorem），具體證明參見該條目。

儒歇定理的證明

由假設，在 C 上 |g(z)| < |f(z)|，蘊含

$\left|{\frac {f(z)+g(z)}{f(z)}}-1\right|<1$，對所有 z∈C。

從而函數 F(z) = [f(z)+g(z)]/f(z) 將曲線 C 變為以 1 為圓心半徑為 1 的圓盤內部一條曲線 F(C)。從而 F(C) 關於原點的卷繞數是零。另一方面，由輻角原理，這個卷繞數等於

$0={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{F'(z) \over F(z)}\,dz=N_{F}(C)-P_{F}(C).$

這裏 N_F(C) 是 F 在C 內部的零點個數，P_F(C) 是 C 內部極點個數。故 N_F = P_F。但是 F 是兩個全純函數 f+g 與 f 在 C 內部的商，所以 F 的零點是 f+g 的零點，極點是 f 的零點。從而

$0=N_{F}(C)-P_{F}(C)=N_{f+g}(C)-N_{f}(C),$

命題得證。

外部連結

• Module for Rouche’s Theorem by John H. Mathews
• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Eugène Rouché, MacTutor數學史檔案 （英語） 
• Ahlfors, Lars V., Complex Analysis 3rd., Beijing, China: China Machine Press, 2003 .