函數空間

在數學中，函數空間是從集合X到集合Y的給定種類的函數的集合。它叫做空間是因為在很多應用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。

例子

函數空間出現在數學的各個領域中：

• 在集合論中，集合X的冪集同一於從X到{0,1}的所有函數的集合；指示為2^X。更一般的說，函數X → Y的集合指示為Y^X。
• 在線性代數中，從在同一個域上的向量空間V到另一個向量空間W的所有線性變換的集合自身是個向量空間。
• 在泛函分析中，對於包括如上向量空間上的拓撲的連續線性變換也是同樣的，很多主要例子是具拓撲結構的函數空間；最周知的例子包括希爾伯特空間和巴拿赫空間。
• 在泛函分析，從自然數到某個集合X的所有函數集合叫做序列空間。它由X的元素的所有可能序列的集合構成。
• 在拓撲學中，可以嘗試在從拓撲空間X到另一個拓撲空間Y的連續函數的空間上放置一個拓撲，帶有依賴於這些空間的本性的效用。常用的例子是緊開拓撲。還有就是在集合論函數（就是說不必需是連續函數）Y^X的空間上的乘積拓撲。在本語境中，這個拓撲也叫做逐點收斂拓撲。
• 在代數拓撲學中，同倫理論本質上研究函數空間的離散不變式。
• 在隨機過程理論中，基本技術問題是如何在「過程路徑」（時間的函數）的函數空間上構造概率測度。
• 在範疇論中，函數空間叫做指數對象。它以一種方式出現為表示規範雙函子；但是作為類型[X, -]的（單一）函子，它出現為對在對象上的類型（-×X）的函子的伴隨函子。
• 在lambda演算和函數式編程中，函數空間類型被用來表達高階函數的想法。
• 在域理論中，基本想法是通過建立良好行為的笛卡兒閉範疇，從可建模lambda演算的偏序中找到構造。