曲面
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在數學（拓撲學）中，一個曲面（surface）是一個二維流形。三維空間中的例子有三維實心物體的邊界。流體的表面，例如雨滴或肥皂泡是一種理想化的曲面。關於雪花的表面，它有很多精細的結構，超越了這個簡單的數學定義。關於實際的曲面的資料，請參看表面張力，表面化學，曲面能量。
定義
[編輯]在下文中，所有曲面視為第二可數2-維流形。
更精確一點的講：一個拓撲（帶邊界）曲面是一個豪斯多夫空間，其中每點有一個開鄰域同胚於或者一個E2的開子集或者E2的閉的一半的開子集。
有一個同胚於En的開子集的點的集合稱為流形的內部；它總是非空的。內部的補集稱為邊界；它是一個（1）流形，或者說閉曲線的併集。
無邊界的曲面稱為閉的，如果它是緊的，否則稱為開。
閉曲面分類
[編輯]閉（緊無邊界）連通曲面有完整的分類，同類的曲面至多相差一個同胚。所有這種曲面屬於下面三個無窮多的集合之一：
- 球面加上n個柄（稱為n-環）。這些是歐拉示性數為2-2n的可定向曲面，也稱為虧格（genus）為n的曲面。
- 帶n個柄的射影平面（Projective plane）。這些是歐拉特徵數為1-2n的不可定向曲面。
- 帶n個柄的克萊因瓶。這些是歐拉特徵數為-2n的不可定向曲面。
所以歐拉示性數和可定向性描述了一個緊曲面除了可能的同胚（若曲面光滑則為微分同胚）.
緊曲面
[編輯]帶邊界緊曲面就是有一個或多個開圓盤被取掉的曲面，而且這些圓盤的閉包互不相交。
在R3中的嵌入
[編輯]一個緊曲面可以嵌入到R3，只要它可定向或有非空邊界。Whitney嵌入定理的結果表明任何曲面可以嵌入R4.
微分幾何
[編輯]曲面在n維的嵌入的簡單回顧和這樣一個曲面的面積的計算可以在體積形式條目中找到。黎曼曲面的度量性質在條目龐加萊度量中有簡單介紹。
一些模型
[編輯]把下面這些的邊貼起來可以得到一些模型：
* * B B
v v v ^ *>>>>>* *>>>>>*
v v v ^ v v v v
A v v A A v ^ A A v v A A v v A
v v v ^ v v v v
v v v ^ *<<<<<* *>>>>>*
* * B B
球面 实射影平面 克莱因瓶 环面 (打了孔的莫比乌斯带) (面包圈)
基本多邊形
[編輯]每個閉曲面可以從一個偶數邊可定向多邊形通過將邊成對等同構造出來，該多邊形稱為基本多邊形。
這個構造可以用一串長度2n的包含n個不同符號的字符串表示，每個符號出現兩次，可以帶+1或-1指數。指數-1表示該邊的方向和基本多邊形的方向相反。
上面的模型可作如下描述：
- 球面：
- 射影平面：
- 克萊因瓶：
- 環面：
（細節請見基本多邊形。）
曲面的連通和
[編輯]給定兩個曲面M和M'，他們的連通和(connected sum) M # M' 可以通過在每個曲面上除去一個圓盤再把他們在新的邊界分量上粘起來。
我們採用下面的記號。
- 球：S
- 環：T
- 克萊因瓶：K
- 射影平面：P
一些結果：
- S # S = S
- S # M = M
- P # P = K
- P # K = P # T
我們用一些縮略記法：nM = M # M # ... # M（n次）以及 0M = S.
閉曲面可以分類如下：
- gT（g-疊環）：虧格為g的可定向曲面。
- gP（g-疊射影平面）：虧格為g的不可定向曲面。
代數曲面
[編輯]曲面的概念和代數曲面不同。一個非奇異復射影代數曲線是一個光滑曲面。複數域上的代數曲面作為流形考慮時維度是4。
