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類數公式

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數論中,類數公式涉及了許多重要的不變量,是數域到其特殊的戴德金zeta函數賦值

類數公式的一般性陳述

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數域 K 有擴張[K:Q]=r=r1+2r2, K實素點個數,K復素點個數. K戴德金zeta函數記為: 則有下列不變量

  • K理想類群的階
  • K素點
  • K單位根個數
  • KK/Q擴張的判別式
    • 定理1(類數公式)數域 K 的戴德金zeta函數絕對收斂,並對複平面,且s =1時,只有一個極點的亞純函數,其留數為:

這是最普遍的「類數公式」。在特殊情況下,例如當K是分圓域的擴張,也有簡化的類數公式。

狄利克雷類數公式

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  • 以下參考達文波特。[1]狄利克雷在1839年證明了第一類數公式,但它是關於二次型的類數而不是理想類的證明。設d是一個基本單位判別式,寫判別ð二次型等價類數h為(D)。是Kronecker符號,則χ是Dirichlet特徵。記χ的LDirichlet L序列為L(s, χ),

對於d>0,讓t> 0,u>0 則滿足u是最小的解Pell方程,如記:(ε也是實2次域的基本單位基本單位的平方), 對於d<0,記w為判別式d的二次型的自同構個數,則:

然後狄利克雷證明出:

這是上述定理1一個特殊情況:只對一個二次域K戴德金zeta函數的結論:, 留數為.狄利克雷也證明了,L序列可以寫成有限形式,從而類數也可以寫成有限形式。類數有限的形式為:

參考文獻

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