邱奇數

邱奇編碼是把數據和運算符嵌入到lambda演算內的一種方式，最常見的形式即邱奇數，它使用lambda符號表示自然數。方法得名於阿隆佐·邱奇，他首先以這種方法把數據編碼到lambda演算中。

透過邱奇編碼，在其他符號系統中通常被認定為基本的項（比如整數、布爾值、有序對、列表和tagged unions）都會被映射到高階函數。在無型別lambda演算，函數是唯一的原始型別。

邱奇編碼本身並非用來實踐原始型別，而是透過它來展現我們不須額外原始型別即可表達計算。

很多學數學的學生熟悉可計算函數集合的哥德爾編號；邱奇編碼是定義在lambda抽象而不是自然數上的等價運算。

邱奇數

邱奇數為使用邱奇編碼的自然數表示法，而用以表示自然數$n$的高階函數是個任意函數$f$映射到它自身的n重函數複合之函數，簡言之，數的「值」即等價於參數被函數包裹的次數。

$f^{\circ n}=\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{n{\text{ 次}}}.\,$

不論邱奇數為何，其都是接受兩個參數的函數。

${\begin{array}{r|l|l}{\text{ 自 然 數}}&{\text{函 數 定 義}}&{\text{lambda 表 達 式}}\\\hline 0&0\ f\ x=x&0=\lambda f.\lambda x.x\\1&1\ f\ x=f\ x&1=\lambda f.\lambda x.f\ x\\2&2\ f\ x=f\ (f\ x)&2=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ x)\\3&3\ f\ x=f\ (f\ (f\ x))&3=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ (f\ x))\\\vdots &\vdots &\vdots \\n&n\ f\ x=f^{n}\ x&n=\lambda f.\lambda x.f^{\circ n}\ x\end{array}}$

就是說，自然數$n$被表示為邱奇數n，它對於任何lambda-項F和X有着性質：

n F X =_β Fn X。

使用邱奇數的計算

在 lambda 演算中，數值函數被表示為在邱奇數上的相應函數。這些函數在大多數函數式語言中可以通過 lambda 項的直接變換來實現（服從於類型約束）。

加法函數 ${\text{plus}}(m,n)=m+n$ 利用了恆等式 $f^{(m+n)}(x)=f^{m}(f^{n}(x))$。

plus ≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)

後繼函數 ${\text{succ}}(n)=n+1$ β-等價於（plus 1）。

succ ≡ λn.λf.λx. f (n f x)

乘法函數 ${\text{times}}(m,n)=m\times n$ 利用了恆等式 $f^{(m\times n)}=(f^{m})^{n}$。

mult ≡ λm.λn.λf. n (m f)

指數函數 $\exp(m,n)=m^{n}$ 由邱奇數定義直接給出。

exp ≡ λm.λn. n m

前驅函數 ${\text{pred}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,\\n-1&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$ 通過生成每次都應用它們的參數 g 於 f 的 $n$ 重函數複合來工作；基礎情況丟棄它的 f 複本並返回 x。

pred ≡ λn.λf.λx. n (λg.λh. h (g f)) (λu. x) (λu. u)

邱奇數函數一表

函數	代數	等同	函數定義	Lambda 表達式
後繼	$n+1$	$f^{n+1}\ x=f(f^{n}x)$	$\operatorname {succ} \ n\ f\ x=f\ (n\ f\ x)$	$\lambda n.\lambda f.\lambda x.f\ (n\ f\ x)$	...
加法	$m+n$	$f^{m+n}\ x=f^{m}(f^{n}x)$	$\operatorname {plus} \ m\ n\ f\ x=m\ f\ (n\ f\ x)$	$\lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.m\ f\ (n\ f\ x)$	$\lambda m.\lambda n.n\operatorname {succ} m$
乘法	$m\times n$	$f^{m\times n}\ x=(f^{m})^{n}\ x$	$\operatorname {multiply} \ m\ n\ f\ x=m\ (n\ f)\ x$	$\lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.m\ (n\ f)\ x$	$\lambda m.\lambda n.\lambda f.m\ (n\ f)$
指數	$m^{n}$	$n\ m\ f=m^{n}\ f$	$\operatorname {exp} \ m\ n\ f\ x=(n\ m)\ f\ x$	$\lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.(n\ m)\ f\ x$	$\lambda m.\lambda n.n\ m$
前驅*	$n-1$	$\operatorname {inc} ^{n}\operatorname {con} =\operatorname {val} (f^{n-1}x)$	$if(n==0)\ 0\ else\ (n-1)$	$\lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ (\lambda g.\lambda h.h\ (g\ f))\ (\lambda u.x)\ (\lambda u.u)$
減法*	$m-n$	$f^{m-n}\ x=(f^{-1})^{n}(f^{m}x)$	$\operatorname {minus} \ m\ n=(n\operatorname {pred} )\ m$	...	$\lambda m.\lambda n.n\operatorname {pred} m$

* 注意在邱奇編碼中,

• $\operatorname {pred} (0)=0$
• $m<n\to m-n=0$

除法函式

以下列定義可實作自然數的除法

$n/m=\operatorname {if} \ n\geq m\ \operatorname {then} \ 1+(n-m)/m\ \operatorname {else} \ 0$

計算 $n$ 除以 $m$ 的遞迴相減時，將會計算很多次的beta歸約。除非以紙筆手工來做，那麼多步驟倒無關緊要，
但我們不想一直重複瑣碎的歸約；而判別數字是否為零的函式是 IsZero，所以考慮下列條件：

$\operatorname {IsZero} \ (\operatorname {minus} \ n\ m)$

這個判別式相當於 $n$ 小於等於 $m$ 而非 $n$ 小於 $m$。如果使用這式子，那麼要將上面給出的除法定義，
轉化為邱奇編碼的自然數函數如下，

$\operatorname {divide1} \ n\ m\ f\ x=(\lambda d.\operatorname {IsZero} \ d\ (0\ f\ x)\ (f\ (\operatorname {divide1} \ d\ m\ f\ x)))\ (\operatorname {minus} \ n\ m)$

這樣的定義只呼叫了一次 $n$ 減去 $m$，正如我們所想的。然而問題是這式子計算成錯誤的結果，
是 (n-1)/m 除法的商。要更正則需在呼叫 divide 之前把 $n$ 再加回 1。 因此除法的正確定義是，

$\operatorname {divide} \ n=\operatorname {divide1} \ (\operatorname {succ} \ n)$

divide1 是一個內含遞迴的定義式，要以 Y 組合子來發生遞迴作用。 所以要再宣告一個名為 div 的新函數；

• 等號左側為 divide1 → div c
• 等號右側為 divide1 → c

要獲得

$\operatorname {div} =\lambda c.\lambda n.\lambda m.\lambda f.\lambda x.(\lambda d.\operatorname {IsZero} \ d\ (0\ f\ x)\ (f\ (c\ d\ m\ f\ x)))\ (\operatorname {minus} \ n\ m)$

那麼

$\operatorname {divide} =\lambda n.\operatorname {divide1} \ (\operatorname {succ} \ n)$

而式中所用的其它函式定義如下列：

${\begin{aligned}\operatorname {divide1} &=Y\ \operatorname {div} \\\operatorname {succ} &=\lambda n.\lambda f.\lambda x.f\ (n\ f\ x)\\Y&=\lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))\\0&=\lambda f.\lambda x.x\\\operatorname {IsZero} &=\lambda n.n\ (\lambda x.\operatorname {false} )\ \operatorname {true} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {true} &\equiv \lambda a.\lambda b.a\\\operatorname {false} &\equiv \lambda a.\lambda b.b\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {minus} &=\lambda m.\lambda n.n\operatorname {pred} m\\\operatorname {pred} &=\lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ (\lambda g.\lambda h.h\ (g\ f))\ (\lambda u.x)\ (\lambda u.u)\end{aligned}}$

使用倒斜線 \ 代替 λ 符號，完整的除法函式則如下列，

divide = (\n.((\f.(\x.x x) (\x.f (x x))) (\c.\n.\m.\f.\x.(\d.(\n.n (\x.(\a.\b.b)) (\a.\b.a)) d ((\f.\x.x) f x) (f (c d m f x))) ((\m.\n.n (\n.\f.\x.n (\g.\h.h (g f)) (\u.x) (\u.u)) m) n m))) ((\n.\f.\x. f (n f x)) n))

換成其它表達法

大部分真實世界的程式語言都提供原生於機器的整數，church 與 unchurch 函式會在整數及與之對應的邱奇數間轉換。這裏使用Haskell撰寫函式， \ 等同於lambda演算的 λ。 用其它語言表達也會很類似。

type Church a = (a -> a) -> a -> a

church :: Integer -> Church Integer
church 0 = \f -> \x -> x
church n = \f -> \x -> f (church (n-1) f x)

unchurch :: Church Integer -> Integer
unchurch cn = cn (+ 1) 0

邱奇布爾值

邱奇布爾值是布爾值真和假的邱奇編碼形式。某些程式語言使用這個方式來實踐布爾算術的模型，Smalltalk 即為一例。

布爾邏輯可以想成二選一，而布爾值則表示為有兩個參數的函數，它得到兩個參數中的一個：

• 真 則選擇第一個參數
• 假 則選擇第二個參數

邱奇布爾值在lambda演算中的形式定義如下：

${\begin{aligned}\operatorname {true} &\equiv \lambda a.\lambda b.a\\\operatorname {false} &\equiv \lambda a.\lambda b.b\end{aligned}}$

由於真、假 可以選擇第一個或第二個參數，所以其能夠由組合來產生邏輯運算子。注意到 not 版本因不同求值策略而有兩個。下列為從邱奇布爾值推導來的布爾算術的函數：

${\begin{aligned}\operatorname {and} &=\lambda p.\lambda q.p\ q\ p\\\operatorname {or} &=\lambda p.\lambda q.p\ p\ q\\\operatorname {not} _{1}&=\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ b\ a\ ^{\scriptstyle {\text{*1}}}\\\operatorname {not} _{2}&=\lambda p.p\ (\lambda a.\lambda b.b)\ (\lambda a.\lambda b.a)=\lambda p.p\operatorname {false} \operatorname {true} \ ^{\scriptstyle {\text{*2}}}\\\operatorname {xor} &=\lambda a.\lambda b.a\ (\operatorname {not} \ b)\ b\\\operatorname {if} &=\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ a\ b\end{aligned}}$

註：

• ¹ 求值策略使用應用次序時，這個方法才正確。
• ² 求值策略使用正常次序時，這個方法才正確。

下頭為一些範例：

${\begin{aligned}\operatorname {and} \operatorname {true} \operatorname {false} &=(\lambda p.\lambda q.p\ q\ p)\ \operatorname {true} \ \operatorname {false} =\operatorname {true} \operatorname {false} \operatorname {true} =(\lambda a.\lambda b.a)\operatorname {false} \operatorname {true} =\operatorname {false} \\\operatorname {or} \operatorname {true} \operatorname {false} &=(\lambda p.\lambda q.p\ p\ q)\ (\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.b)=(\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.b)=(\lambda a.\lambda b.a)=\operatorname {true} \\\operatorname {not} _{1}\ \operatorname {true} &=(\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ b\ a)(\lambda a.\lambda b.a)=\lambda a.\lambda b.(\lambda a.\lambda b.a)\ b\ a=\lambda a.\lambda b.(\lambda c.b)\ a=\lambda a.\lambda b.b=\operatorname {false} \\\operatorname {not} _{2}\ \operatorname {true} &=(\lambda p.p\ (\lambda a.\lambda b.b)(\lambda a.\lambda b.a))(\lambda a.\lambda b.a)=(\lambda a.\lambda b.a)(\lambda a.\lambda b.b)(\lambda a.\lambda b.a)=(\lambda b.(\lambda a.\lambda b.b))\ (\lambda a.\lambda b.a)=\lambda a.\lambda b.b=\operatorname {false} \end{aligned}}$

參見

• Lambda演算
• 系統F，在有類型lambda演算中的邱奇數

外部連結

• Some interactive examples of Church numerals （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）