邱奇編碼是把數據和運算符嵌入到lambda演算內的一種方式,最常見的形式即邱奇數,它使用lambda符號表示自然數。方法得名於阿隆佐·邱奇,他首先以這種方法把數據編碼到lambda演算中。
透過邱奇編碼,在其他符號系統中通常被認定為基本的項(比如整數、布爾值、有序對、列表和tagged unions)都會被映射到高階函數。在無型別lambda演算,函數是唯一的原始型別。
邱奇編碼本身並非用來實踐原始型別,而是透過它來展現我們不須額外原始型別即可表達計算。
很多學數學的學生熟悉可計算函數集合的哥德爾編號;邱奇編碼是定義在lambda抽象而不是自然數上的等價運算。
邱奇數為使用邱奇編碼的自然數表示法,而用以表示自然數
的高階函數是個任意函數
映射到它自身的n重函數複合之函數,簡言之,數的「值」即等價於參數被函數包裹的次數。
![{\displaystyle f^{\circ n}=\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{n{\text{ 次}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049f60be01f6cbd30d7581083a5e90a9c5336c29)
不論邱奇數為何,其都是接受兩個參數的函數。
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}{\text{ 自 然 數}}&{\text{函 數 定 義}}&{\text{lambda 表 達 式}}\\\hline 0&0\ f\ x=x&0=\lambda f.\lambda x.x\\1&1\ f\ x=f\ x&1=\lambda f.\lambda x.f\ x\\2&2\ f\ x=f\ (f\ x)&2=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ x)\\3&3\ f\ x=f\ (f\ (f\ x))&3=\lambda f.\lambda x.f\ (f\ (f\ x))\\\vdots &\vdots &\vdots \\n&n\ f\ x=f^{n}\ x&n=\lambda f.\lambda x.f^{\circ n}\ x\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6563b01f94d0be2a46e82e721ab623761c034748)
就是說,自然數
被表示為邱奇數n,它對於任何lambda-項F
和X
有著性質:
- n
F X
=β Fn X
。
在 lambda 演算中,數值函數被表示為在邱奇數上的相應函數。這些函數在大多數函數式語言中可以通過 lambda 項的直接變換來實現(服從於類型約束)。
加法函數
利用了恆等式
。
- plus ≡
λm.λn.λf.λx. m f (n f x)
後繼函數
β-等價於(plus 1)。
- succ ≡
λn.λf.λx. f (n f x)
乘法函數
利用了恆等式
。
- mult ≡
λm.λn.λf. n (m f)
指數函數
由邱奇數定義直接給出。
- exp ≡
λm.λn. n m
前驅函數
通過生成每次都應用它們的參數 g
於 f
的
重函數複合來工作;基礎情況丟棄它的 f
複本並返回 x
。
- pred ≡
λn.λf.λx. n (λg.λh. h (g f)) (λu. x) (λu. u)
* 注意在邱奇編碼中,
![{\displaystyle \operatorname {pred} (0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97760225e16261b4333c6e317dfbb6a3ee1270af)
![{\displaystyle m<n\to m-n=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e869458320ac2efc51b8ded0ff6b33c6cc6e4)
以下列定義可實作自然數的除法
![{\displaystyle n/m=\operatorname {if} \ n\geq m\ \operatorname {then} \ 1+(n-m)/m\ \operatorname {else} \ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed372cc30e5079bcc6fb23e8d30738b10a5a033b)
計算
除以
的遞迴相減時,將會計算很多次的beta歸約。除非以紙筆手工來做,那麼多步驟倒無關緊要,
但我們不想一直重複瑣碎的歸約;而判別數字是否為零的函式是 IsZero,所以考慮下列條件:
![{\displaystyle \operatorname {IsZero} \ (\operatorname {minus} \ n\ m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e50410a6ade27f0719b9f2fc863545efa2f2a28)
這個判別式相當於
小於等於
而非
小於
。如果使用這式子,那麼要將上面給出的除法定義,
轉化為邱奇編碼的自然數函數如下,
![{\displaystyle \operatorname {divide1} \ n\ m\ f\ x=(\lambda d.\operatorname {IsZero} \ d\ (0\ f\ x)\ (f\ (\operatorname {divide1} \ d\ m\ f\ x)))\ (\operatorname {minus} \ n\ m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71db547eae214fe79bb6ba7399e8bedf6aa92cb)
這樣的定義只呼叫了一次
減去
,正如我們所想的。然而問題是這式子計算成錯誤的結果,
是 (n-1)/m 除法的商。要更正則需在呼叫 divide 之前把
再加回 1。 因此除法的正確定義是,
![{\displaystyle \operatorname {divide} \ n=\operatorname {divide1} \ (\operatorname {succ} \ n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fb26928c830538b603dd4b0268462be30075a3)
divide1 是一個內含遞迴的定義式,要以 Y 組合子來發生遞迴作用。 所以要再宣告一個名為 div 的新函數;
- 等號左側為 divide1 → div c
- 等號右側為 divide1 → c
要獲得
![{\displaystyle \operatorname {div} =\lambda c.\lambda n.\lambda m.\lambda f.\lambda x.(\lambda d.\operatorname {IsZero} \ d\ (0\ f\ x)\ (f\ (c\ d\ m\ f\ x)))\ (\operatorname {minus} \ n\ m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e57208acfcc292d0b50a5975eec4aa54c73ac28)
那麼
![{\displaystyle \operatorname {divide} =\lambda n.\operatorname {divide1} \ (\operatorname {succ} \ n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7897298aa0f87ba2fbe70635f94d37dbf6c25b27)
而式中所用的其它函式定義如下列:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {true} &\equiv \lambda a.\lambda b.a\\\operatorname {false} &\equiv \lambda a.\lambda b.b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39bc19720586d643dd1923cd9e054b1614725f9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {minus} &=\lambda m.\lambda n.n\operatorname {pred} m\\\operatorname {pred} &=\lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ (\lambda g.\lambda h.h\ (g\ f))\ (\lambda u.x)\ (\lambda u.u)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8256791d68d145ea9fb99662b8030da448eaa0aa)
使用倒斜線 \ 代替 λ 符號,完整的除法函式則如下列,
divide = (\n.((\f.(\x.x x) (\x.f (x x))) (\c.\n.\m.\f.\x.(\d.(\n.n (\x.(\a.\b.b)) (\a.\b.a)) d ((\f.\x.x) f x) (f (c d m f x))) ((\m.\n.n (\n.\f.\x.n (\g.\h.h (g f)) (\u.x) (\u.u)) m) n m))) ((\n.\f.\x. f (n f x)) n))
大部分真實世界的程式語言都提供原生於機器的整數,church 與 unchurch 函式會在整數及與之對應的邱奇數間轉換。這裡使用Haskell撰寫函式, \
等同於lambda演算的 λ。 用其它語言表達也會很類似。
type Church a = (a -> a) -> a -> a
church :: Integer -> Church Integer
church 0 = \f -> \x -> x
church n = \f -> \x -> f (church (n-1) f x)
unchurch :: Church Integer -> Integer
unchurch cn = cn (+ 1) 0
邱奇布爾值是布爾值真和假的邱奇編碼形式。某些程式語言使用這個方式來實踐布爾算術的模型,Smalltalk 即為一例。
布爾邏輯可以想成二選一,而布爾值則表示為有兩個參數的函數,它得到兩個參數中的一個:
邱奇布爾值在lambda演算中的形式定義如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {true} &\equiv \lambda a.\lambda b.a\\\operatorname {false} &\equiv \lambda a.\lambda b.b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39bc19720586d643dd1923cd9e054b1614725f9)
由於真、假 可以選擇第一個或第二個參數,所以其能夠由組合來產生邏輯運算子。注意到 not 版本因不同求值策略而有兩個。下列為從邱奇布爾值推導來的布爾算術的函數:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {and} &=\lambda p.\lambda q.p\ q\ p\\\operatorname {or} &=\lambda p.\lambda q.p\ p\ q\\\operatorname {not} _{1}&=\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ b\ a\ ^{\scriptstyle {\text{*1}}}\\\operatorname {not} _{2}&=\lambda p.p\ (\lambda a.\lambda b.b)\ (\lambda a.\lambda b.a)=\lambda p.p\operatorname {false} \operatorname {true} \ ^{\scriptstyle {\text{*2}}}\\\operatorname {xor} &=\lambda a.\lambda b.a\ (\operatorname {not} \ b)\ b\\\operatorname {if} &=\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ a\ b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1877d35701daaa16e1bdcff403edd3176f941ebe)
註:
- 1 求值策略使用應用次序時,這個方法才正確。
- 2 求值策略使用正常次序時,這個方法才正確。
下頭為一些範例:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {and} \operatorname {true} \operatorname {false} &=(\lambda p.\lambda q.p\ q\ p)\ \operatorname {true} \ \operatorname {false} =\operatorname {true} \operatorname {false} \operatorname {true} =(\lambda a.\lambda b.a)\operatorname {false} \operatorname {true} =\operatorname {false} \\\operatorname {or} \operatorname {true} \operatorname {false} &=(\lambda p.\lambda q.p\ p\ q)\ (\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.b)=(\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.a)\ (\lambda a.\lambda b.b)=(\lambda a.\lambda b.a)=\operatorname {true} \\\operatorname {not} _{1}\ \operatorname {true} &=(\lambda p.\lambda a.\lambda b.p\ b\ a)(\lambda a.\lambda b.a)=\lambda a.\lambda b.(\lambda a.\lambda b.a)\ b\ a=\lambda a.\lambda b.(\lambda c.b)\ a=\lambda a.\lambda b.b=\operatorname {false} \\\operatorname {not} _{2}\ \operatorname {true} &=(\lambda p.p\ (\lambda a.\lambda b.b)(\lambda a.\lambda b.a))(\lambda a.\lambda b.a)=(\lambda a.\lambda b.a)(\lambda a.\lambda b.b)(\lambda a.\lambda b.a)=(\lambda b.(\lambda a.\lambda b.b))\ (\lambda a.\lambda b.a)=\lambda a.\lambda b.b=\operatorname {false} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36161f4e76c5ef328c080d27810bb395713209e)
- ^ This formula is the definition of a Church numeral n with f -> m, x -> f.