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二面角

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在第三個平面(粉紅色)中的兩個平面(α,β,綠色)之間的角度以直角切割相交線

二面角(英語:dihedral angle)是兩個相交平面之間的夾角。在立體幾何中,它被定義為一條直線和兩個半平面的併集,這條直線是兩個半平面的公共。在高維中,二面角表示兩個超平面之間的夾角。[1]

化學中,二面角是分子中的兩個分別由三個原子組成的平面之間的夾角,一共涉及四個原子,公共邊是一個化學鍵(兩個原子),平面則由另兩個原子分別與該化學鍵構成。

立體幾何

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一條直線和兩個半平面的併集組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面

由直線 、半平面 和半平面 組成的二面角,記作:「二面角 」,也可記作「」。

也可在直線 外、半平面 和半平面 內,分別取點和點,將這個二面角記作「二面角」。

在 二面角 的棱 上任取一點,以點為垂足,在半平面 內分別作射線 和射線 垂直於棱 ,那麼射線 和射線 所構成的 叫做二面角的平面角[2]

建立二面角的平面角

在非解析幾何方法中,常通過建立二面角的平面角,通過求出平面角的大小,來求出二面角的大小:

在平面 中的射影

是二面角 的平面角。

解析幾何

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若兩個相交平面在笛卡爾坐標中的方程分別為

則它們之間的二面角 為:

另一種方法是計算兩個平面的法向量nAnB之間的夾角:

其中nAnB是兩個向量的點積,|nA| |nB|是兩個向量的的乘積。[3]

任何平面也可以由位於該平面的兩個非共線向量來描述;他們的叉積是平面的法向量。因此,二面角可以由三個向量b1b2b3定義,形成兩對非共線向量:[4]

其中atan2是二個參數的反正切函數變體,一般而言,atan2(y, x) 等價於 atan(y/x)。

立體化學

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構象名稱 syn-正丁烷
紐曼投影
syn-正丁烷
鋸木架投影
正丁烷的自由能圖作為二面角的函數

化學中,扭轉角(英語:torsion angle)被定義為二面角的特定例子,描述了通過化學鍵連接的分子的兩個部分的幾何關係。[5][6]

立體化學中,分子中的每三個(非共線)原子都決定了一個平面。當兩個這樣的平面相交時,它們之間的角度便是二面角。二面角用於描述具體的分子構象[7]。角度在0°和±90°之間的立體化學構象被稱為syn(s,順);在±90°和180°之間的為anti(a,反)。類似地,角度在30°和150°之間或-30°和-150°之間的被稱為clinal(c,錯),而在0°和±30°或±150°和180°之間的被稱為periplanar(p,疊)。

這兩種術語可以組合起來,以定義四個角度範圍:0°至±30°為順疊(sp);30°至90°和-30°至-90°為順錯(sc);90°至150°和-90°至-150°為反錯(ac);±150°至180°為反疊(ap)。順疊構象也被稱為順式(syn-或cis-)構象;反疊構象也被稱為反式(anti-或trans-)構象;順錯構象也被稱為鄰位交叉、間扭(gaucheskew)構象。

例如,對於正丁烷,可以用兩個中心碳原子和任一個甲基碳原子來分別指定兩個平面。本節開頭(上圖)所示的syn-構象具有60°的二面角,比180°二面角的anti-構象更不穩定。

對於大分子使用,建議使用符號T,C,G+,G-,A+和A-分別表示ap,sp,+sc,-sc,+ac和-ac。[5]

蛋白質

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描述蛋白質,顯示骨架二面角

拉氏圖(也稱為Ramachandran圖或[φ,ψ]圖),由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初開發[8],是一種形象化蛋白質結構中能量(位阻)允許的氨基酸殘基的二面角ψφ的關係的方式。右圖展示了骨架二面角φψ的定義[9](Ramachandran稱為φφ')。

蛋白質鏈中,三個二面角被定義為φ(phi),ψ(psi)和ω(omega),如圖所示。肽鍵的平面性通常使得ω被限制為180°(典型trans情況)或0°(罕見cis情況)。transcis異構體的α-碳之間的距離分別為大約3.8和2.9 Å。cis異構體主要在Xaa-Pro肽鍵(其中Xaa是任何氨基酸)中觀察到。

側鏈二面角傾向於聚集在180°,60°和-60°附近,稱為transgauche+gauche-構象。某些側鏈二面角的穩定性受到φψ值的影響[10]。例如,當ψ接近-60°時,gauche+旋轉異構體的側鏈中的γ-碳和下一個殘基的氮之間就會有直接的位阻相互作用[11]

從二面角轉換為鏈中的笛卡爾坐標

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在聚合物特別是蛋白質中,常常用內部坐標來描述主鏈,也即把二面角和鍵長按照順序列表。但是,某些類型的計算化學反而使用笛卡爾坐標。在計算結構最佳化中,一些程序需要在迭代過程中在這些表示法之間來迴轉換,這項工作可能佔用大部分計算時間。對於有很多迭代或長鏈的過程,它也可能引入累積的數值不準確性。雖然所有的轉換算法會產生數學上相同的結果,但它們的運算速度和數字精度不同。[12][需要非第一手來源]

幾何

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每個多面體在每條邊上都有一個二面角,用於描述以該邊為公共邊的兩個面的關係。該二面角也被稱為面角,其計算的是多面體的內角。面角0°意味着兩個面法向量是反向平行的,而且兩個面相互重疊,這意味着它是退化多面體的一部分。面角為180°意味着這些面是平行的,如在鑲嵌中。在多面體的凹部,可以存在大於180°的面角,在基礎數學二面角的取值範圍上有爭議目前認為取值為[0,180]。

邊遞移多面體中的每個二面角大小相同。這包括5個正多面體,4個星型正多面體,兩個擬正多面體和兩個擬正對偶多面體。

給定一個在共同頂點P上相交且具有邊AP、BP和CP的多面體的三個面,包含APC和BPC的面之間的二面角的餘弦為:[13]

參見

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參考資料

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  1. ^ Olshevsky, George, Dihedral angle at Glossary for Hyperspace.
  2. ^ 2.3.2平面与平面垂直的判定. 普通高中課程標準實驗教科書 數學2 必修 A版. 普通高中課程標準實驗教科書 數學2 必修 A版: 68. ISBN 978-7-107-17706-4. 
  3. ^ Angle Between Two Planes. TutorVista.com. [2018-07-06]. (原始內容存檔於2020-10-28). 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  4. ^ Blondel, Arnaud; Karplus, Martin. New formulation for derivatives of torsion angles and improper torsion angles in molecular mechanics: Elimination of singularities. Journal of Computational Chemistry. 7 Dec 1998, 17 (9): 1132–1141 [2018-07-08]. doi:10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T. (原始內容存檔於2018-02-03). 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  5. ^ 5.0 5.1 國際純化學和應用化學聯合會化學術語概略,第二版。(金皮書)(1997)。在線校正版: (2006–) "Torsion angle"。doi:10.1351/goldbook.T06406
  6. ^ 國際純化學和應用化學聯合會化學術語概略,第二版。(金皮書)(1997)。在線校正版: (2006–) "Dihedral angle"。doi:10.1351/goldbook.D01730
  7. ^ Anslyn, Eric; Dennis Dougherty. Modern Physical Organic Chemistry. University Science. 2006: 95. ISBN 978-1891389313. 
  8. ^ Ramachandran, G. N.; Ramakrishnan, C.; Sasisekharan, V. Stereochemistry of polypeptide chain configurations. Journal of Molecular Biology. 1963, 7: 95–9. PMID 13990617. doi:10.1016/S0022-2836(63)80023-6. 
  9. ^ Richardson, J. S. Anatomy and Taxonomy of Protein Structures. Advances in Protein Chemistry. Advances in Protein Chemistry. 1981, 34: 167–339. ISBN 9780120342341. PMID 7020376. doi:10.1016/S0065-3233(08)60520-3. 
  10. ^ Dunbrack, RL Jr.; Karplus, M. Backbone-dependent rotamer library for proteins. Application to side-chain prediction.. Journal of Molecular Biology. 20 March 1993, 230 (2): 543–74. PMID 8464064. doi:10.1006/jmbi.1993.1170. 
  11. ^ Dunbrack, RL Jr; Karplus, M. Conformational analysis of the backbone-dependent rotamer preferences of protein sidechains.. Nature Structural Biology. May 1994, 1 (5): 334–40. PMID 7664040. doi:10.1038/nsb0594-334. 
  12. ^ Parsons, J.; Holmes, J. B.; Rojas, J. M.; Tsai, J.; Strauss, C. E., Practical conversion from torsion space to cartesian space for in silico protein synthesis, Journal of Computational Chemistry, 2005, 26: 1063–1068, PMID 15898109, doi:10.1002/jcc.20237 
  13. ^ dihedral angle calculator polyhedron. www.had2know.com. [2015-10-25]. (原始內容存檔於2015-11-25). 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館

外部連結

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