交流電功率

在電路中，瞬時功率（instantaneous power）是能量流過電路給定點的時間變率（time rate）。在交流電路中，平均功率則是在一個完整周期的交流波形取能量對時間變率的平均。

交流電功率（AC power，與「交流電源」之英語相同）是電能在交流電路中流動的速率。由於在交流電路或交流電系統中，電感器和電容器之類的儲能元件（或負載）可能導致能量流動方向的周期反轉，因此定義交流電功率的瞬時功率中，可導致能量在某特定方向上淨轉移的部分（淨流動率）稱為瞬時有功功率；瞬時有功功率的時間均值（time average），稱為有功功率（active power）或實功率（real power）；而交流電功率的瞬時功率中，無法導致能量在特定方向上的淨轉移的部分稱為瞬時無功功率；瞬時無功功率的時間均值，稱為無功功率（reactive power）或虛功率（fictitious power），其成因為儲存的能量在每個周期中振盪往返於儲能元件（或負載）與電源間；瞬時無功功率的幅值是無功功率的絕對值^[1]^[2]。

定義

對一個線性負載而言，電路中電壓與電流都是遵循相同規律變化的，例如都按照正弦波變化。如果負載是純電阻的話，電路中電壓與電流會在相同的時間改變各自的極性，電壓與電流的乘積永遠都是大於或等於0的，表示能量的流動方向不會逆轉。此時電路上只有實際功率流動。

而如果負載是純電容或純電感的話，電路中的電流與電壓會出現90度的相位差。這樣一來，在交流電的每個周期內，半個周期中電流與電壓乘積為正，而另半個周期中電流與電壓乘積為負，而且二者相加正好為0，表示每個周期內流向負載的電能全部被返還到電源中，整體上電路沒有消耗電能，電路上只有無功功率流動。

在實際生活中，負載通常會同時有電阻性、電容性和電感性，因此電路上會同時有無功功率和實際功率。電力工程師將無功功率和實際功率的向量和的模作為視在功率。視在功率的定義為電壓的均方根乘以電流的均方根。雖然無功功率不傳遞能量，但是對維持輸電系統穩定性有重要作用。供應端及負載端的有功功率必須相等，無功功率亦必須相等，系統才可正常運作。同步發電機可以輸出有功及無功功率，透過控制勵磁系統可以改變無功功率的輸出大小。

儘管無功功率在負載上不做功，但是對於一個實際系統來說，電流流過導線時，會使導線發熱，部分電能因此會損失掉，因此電力工程師需要關心視在功率。變壓器和導線都需要按照視在功率的大小設計，而不是有功功率。發電機和不間斷電源等供電設備需同時考慮視在功率和有功功率。另外，直接將兩個負載各自的視在功率相加，並不一定等於兩個負載整體的視在功率，除非兩個負載的電壓和電流的相位差一致，或兩個負載具有相同的功率因數。

根據定義，電容器提供無功功率，而電感器消耗無功功率。因此計算負載時，電阻是正數（代表消耗實功），電感也是正數（代表消耗虛功），電容則是負數（代表提供虛功）。

如果將電容器和電感器並聯，那麼二者的電流會傾向於相互抵消而不是疊加。這是電力系統中進行功率因數校正的一個基本方法。一般慣例，若電流的相位領先電壓的相位，則稱為功率因數領先，反之則稱為功率因數落後。例如，複數功率 S = 800 + j600 表示 800W 實功、600var 虛功、1000VA 視在功率及功率因數 0.8 落後。

功率的單位是瓦特（符號為W），但是一般來說，只有討論實際功率的時候才會用這個稱呼。視在功率的單位一般以伏特·安培（簡稱「伏安」，符號為VA）稱呼，因為其定義為電流的均方根乘以電壓的均方根。無功功率的單位為無功伏特·安培，簡稱「無功伏安」，符號為var。

公式

交流電功率可以用實數或複數的方式表示。一般而言，在物理學及科學研究中通常使用實數計算電功率，並以弧度作為相角的單位。在電機工程學中，會按需要使用實數或複數，相角也可採用角度或弧度表示。

實數

各個與功率相關的參數，以及各自的單位如下所示^[3]：

有功功率、平均功率或實功率 P：瓦特（W）
無功功率或虛功率 Q：無功伏安（var）
電壓-電流相位差或功率角（power angle） $\theta =\theta _{v}-\theta _{i}$ ：角度（°）或弧度（rad）
視在功率 S：伏安（VA）
功率因數（power factor）：無單位

交流電訊號為弦波訊號，其電壓可寫成 $v(t)=V_{m}\,\cos(\omega t+\theta _{v})$ ，電流可寫成 $i(t)=I_{m}\,\cos(\omega t+\theta _{i})$

瞬時功率: $p(t)=v(t)\,i(t)$ $={\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,\theta \,(1+\cos \,2\omega t)-{\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\sin \,\theta \,\sin \,2\omega t$ $={\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,\theta +{\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,(\theta +2\omega t)$ $=P+|S|\,\cos \,(\theta +2\omega t)$; 以上可得瞬時功率的頻率為電壓或電流的兩倍，平均瞬時功率為 $P$ ，最大瞬時功率為 $P+|S|$ ，最小瞬時功率為 $P-|S|$ 。
視在功率: $S=V\,I={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$
功率因數: $pf={\frac {P}{S}}=\cos \,\theta$
阻抗: $Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}$; $V=IZ$

複數

在電機工程中，電流通常標記為 $i(t)$ 或簡寫為 $i$ 。為免與電流混淆，虛數單位改用i之後的英文字母j，且虛數單位標記於數字前。

j^{2}=-1

複數功率: $|S|={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$; $S=VI^{*}=P+jQ$; $S=I^{2}Z={\frac {V^{2}}{Z^{*}}}$
功率因數: $pf={\frac {P}{|S|}}=\cos \,\theta$
阻抗: $Z=R+jX$; $V=IZ$

相比實數版公式，複數版公式的最大差別在於，計算功率時必須取電流的共軛，原因是相差的定義是電壓相角減電流相角。

V=V_{pk}\angle \theta _{v}

I=I_{pk}\angle \theta _{i}

S=V_{pk}I_{pk}\angle (\theta _{v}-\theta _{i})=VI^{*}

參見

參考資料

^ Thomas, Roland E.; Rosa, Albert J.; Toussaint, Gregory J. The Analysis and Design of Linear Circuits 8. Wiley. 2016: 812–813. ISBN 978-1-119-23538-5.
^ IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions. IEEE. 2010. ISBN 978-0-7381-6058-0. doi:10.1109/IEEESTD.2010.5439063.
^ 《Electric Circuits》10th edition by James W. Nilsson & Susan A. Riedel (2014)

[1] Thomas, Roland E.; Rosa, Albert J.; Toussaint, Gregory J. The Analysis and Design of Linear Circuits 8. Wiley. 2016: 812–813. ISBN 978-1-119-23538-5.

[2] IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions. IEEE. 2010. ISBN 978-0-7381-6058-0. doi:10.1109/IEEESTD.2010.5439063.

[3] 《Electric Circuits》10th edition by James W. Nilsson & Susan A. Riedel (2014)

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