皮卡德群

  提示：此條目頁的主題不是Picard modular group。

數學中，環空間X的皮卡德群，是在X上可逆層（或線叢）的同構類組成群，記作$Pic(X)$。此群的群運算為張量積。這個群的構造理念是構造因數(除子)類群或理想類群的廣域(global)版本, 這種構造在代數幾何和複流形理論中廣泛使用。

此外，皮卡德群也可以定義為層上同調群

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,$

對於積分概形, 皮卡德群同構於Cartier 因數的類群。對於複流形，指數層級數能給出對應的皮卡德群的基本信息。

因為皮卡德在代數曲面上的因數的相關研究, 這個群以他命名。

例子

• 一個戴德金整環的譜的皮卡德群是這個戴爾金整環的理想類群。
• 如果$K$ 是一個域，那麼其射影空間 $P^{n}(K)$上的可逆層是扭轉層${\mathcal {O}}(m),\,$所以$P^{n}(K)$的皮卡德群同構於$\mathbb {Z}$。
• 在$K$上有兩個原點的仿射線的皮卡德群同構於$\mathbb {Z}$。
• $n$維復仿射空間的皮卡德群： $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$。因為指數序列正好生成了以下上同調的長序列

  $\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

並且因為$H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$

因為$\mathbb {C} ^{n}$是可收縮的 所以我們可以得出 $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$，那麼$H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$

由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下結論, 可以應用Dolbeault 同構來計算:$H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$

皮卡德概形

我們可以在在皮卡德群（的可表示函子版本）上構造概形結構，即皮卡德概形，是代數幾何中的重要工具，特別是在阿貝爾簇的對偶理論中。這種方法由Grothendieck (1962)構建，並由Mumford (1966)和Kleiman (2005)描述。

相關條目

• 層上同調
• Cartier除子
• 全純線叢
• 理想類群
• 阿拉克洛夫級群
• 組棧
• 皮卡德範疇

參考資料

• Grothendieck, A., V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232 (7): 143–161, 1962 [2023-06-06], （原始內容存檔於2023-06-07） 
• Grothendieck, A., VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236 (7): 221–243, 1962 [2023-06-06], （原始內容存檔於2023-06-06） 
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052 
• Igusa, Jun-Ichi, On some problems in abstract algebraic geometry, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 1955, 41 (11): 964–967, Bibcode:1955PNAS...41..964I, PMC 534315 , PMID 16589782, doi:10.1073/pnas.41.11.964 
• Kleiman, Steven L., The Picard scheme, Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 235–321, 2005, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410, arXiv:math/0504020  
• Mumford, David, Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies 59, Princeton University Press, 1966, ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285, OCLC 171541070 
• Mumford, David, Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, 1970, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290