質心
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航天動力學 |
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質心為多質點系統的質量中心。若對該點施力,系統會沿着力的方向運動、不會旋轉。質點位置對質量加權取平均值,可得質心位置。以質心的概念計算力學通常比較簡單。質心對應的英文有 center of mass 與 barycenter(或 barycentre,源自古希臘的 βαρύς heavy + κέντρον centre[1])。後者指兩個或多個物體互繞物體的質量中心。
Barycenter 在天文學和天文物理上是很重要的一個觀念。從一個物體的質心轉移一個距離至彼此的質心,可以簡化成二體問題來進行計算。在兩個天體當中,有一個比另一個大許多的情況下(在相對封閉的環境),質心通常會位於質量較大的天體之內。因而較小的天體會在軌道上繞着共同的質心運動,而較大的僅僅只會略微"抖動"。地月系統就是這樣的狀況,倆者的質心距離地球的中心4,671公里,而地球的半徑是6,378公里。當兩個天體的質量差異不大時,質心通常會介於兩者之間,而這兩個天體會呈現互繞的現象。冥王星和它的衛星夏戎,還有許多雙小行星和聯星,都是這種情況的例子。木星和太陽的質量相差雖然超過1,000倍,但因為它們之間的距離較大,也是這一類型的例子[2]。
在天文學,質心座標是非轉動座標,其原點是兩個或多個天體的質心所在。國際天球參考系統是質心座標之一,它的原點是太陽系的質心所在之處。
二體問題
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Barycentric_view_of_Pluto_and_Charon_29_May-3_June_by_Ralph_in_near-true_colours.gif/230px-Barycentric_view_of_Pluto_and_Charon_29_May-3_June_by_Ralph_in_near-true_colours.gif)
性質
[編輯]質心不一定要在有重力場的系統中才會有意義,而重心則否。值得注意的是,除非重力場是均勻的,否則同一物質系統的質心與重心通常不在同一假想點上。對於密度均勻、形狀對稱分佈的物體,其質心位於其幾何中心處[3]。
在兩質點系統中,取質心為原點,兩質點連線為x軸,則兩質點坐標和與質量與有如下關係:
例子
[編輯]雙星互繞時它們的質心位置:
![]() 兩顆星體質量差不多,例如休神星。 |
![]() 兩顆星體質量不同,例如冥王星與冥衛一。 |
![]() 兩顆星體質量有很大的不同,例如地球與月球。 |
![]() 兩顆星體質量有極大的不同,例如太陽與地球。 |
![]() 兩顆星體以橢圓軌道互繞,此狀況通常稱為聯星。 |
重心
[編輯]重力作用的平均位置,定義為各質點相對於重心(質心)的位置向量乘上各質點的重力之和(淨力矩)為零。
均勻重力場
[編輯]在地球表面附近,重力場可被認定為均勻且平行向下,所以重心會等同於質心。 在物理學,使用「質心」來表示質量分佈的好處,從以淨力來考慮連續體的重力可以看出。考慮一個體積為V的體系(不一定是剛體),並設在物體內位置向量為r的點的密度為ρ(r)。在均勻的重力場中,每個點r的場的作用力f由下式給出:
其中dm是在點r的質量,g 是重力加速度,以及k 是定義垂直方向的單位向量。 在這個體系中選擇位置向量為R的點為參考點,計算出點r所受的淨力:
以及點r相對點R淨力矩:
如果這個參考點R正好選在質心,則有
這就意味着淨力矩T=0。因為其淨力矩為零,可以視為體系所有的質量集中於質心,而沒有體系自身轉動的效應。
非均勻重力場
[編輯]常用於天體力學
- 平行場
一些不均勻的重力場中可以通過可變但並行的場來建模: g(r) = g(r)n,其中n是一些常數單位向量。雖然不均勻的重力場不能完全平行,但如果物體足夠小,這種近似可能是有效的。[4]然後可以將重心定義為構成組成物體位置的特定加權平均值。即是質心平均超過每個粒子的質量,重心平均超過每個粒子的重量:
此處 是 i粒子和W 所有粒子的(純量)總重量。[5] 該方程式始終具有獨特的解決方案,並且在並行場近似中,它與扭矩要求兼容。.[6] 一個常見的例子涉及地球領域的月亮。使用加權平均定義,月球的重心比其質心更低(更接近地球),因為它的下部受地球重力的影響更大。[7]
(以下為未翻譯內容,歡迎協助翻譯)
- 球形場
如果外部重力場是球對稱的,那麼它相當於點質量的場 M ,質點在球對稱的中心 r。此時,重心可定義為一點,在該點上物體的淨力可由 牛頓萬有引力定律得到:
此處G是重力常數,m是物體的質量。若淨力非零,該等式有獨一解,而且此解滿足扭矩上的要求。[8] A convenient feature of this definition is that if the body is itself spherically symmetric, then rcg lies at its center of mass. In general, as the distance between r and the body increases, the center of gravity approaches the center of mass.[9]
Another way to view this definition is to consider the gravitational field of the body; then rcg is the apparent source of gravitational attraction for an observer located at r. For this reason, rcg is sometimes referred to as the center of gravity of M relative to the point r.[10]
參見
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Oxford English Dictionary, Second Edition.
- ^ MacDougal, Douglas W. Newton's Gravity: An Introductory Guide to the Mechanics of the Universe. Berlin: Springer Science & Business Media. December 2012: 199. ISBN 1-4614-5444-1.
- ^ 3.0 3.1 趙凱華 羅蔚飲. 胡凱飛 , 編. 新概念物理教程.力学 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2004年7月: 124. ISBN 978-7-04-015201-2.
- ^ Beatty 2006,第45頁.
- ^ Beatty 2006,第48頁 ; Jong & Rogers 1995,第213頁 .
- ^ Beatty 2006,第47–48頁.
- ^ Asimov 1988,第77頁 ; Frautschi et al. 1986,第269頁 .
- ^ Symon 1964,第259–260頁 ; Goodman & Warner 2001,第117頁 ; Hamill 2009,第494–496頁 .
- ^ Symon 1964,第260, 263–264頁.
- ^ Symon 1964,第260頁.