真约数和
外观
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真约数和函数的图形
真约数和,又称真因子和,在数论中,一个正整数的所有真约数之和,即除了自己本身外的所有正约数之和,通常以来表示:
真约数和可以用来描述素数、完全数、相亲数链、亏数、过剩数和不可及数,也可以用于定义整数的真约数和数列。
例子
[编辑]以12为例,12的真约数(即除了自己本身外的所有正约数)有1、2、3、4和6,则其真约数和为
下面数列呈现前几个整数的真约数和 [1]
- 0、 1、 1、 3、 1、 6、 1、 7、 4、 8、 1、 16、 1、 10、 9、 15、 1、 21、 1、 22、 11、 14、 1、 36、 6、 16、 13、 28、 1、 42、 1、 31、 15、 20、 13、 55、 1、 22、 17、 50、 1、 54、 1、 40、 33、 26、 1、 76、 8、 43、 21 …… (OEIS数列A001065)
数字类别的性质
[编辑]真约数和函数可以用来区分几个特别的数字类别:
- 1是唯一一个真约数和为0的正整数。
- 如果一个正整数真约数和为1则代表该数是一个素数[2]。
- 完全数的真约数和等于本身、亏数的真约数和小于本身、过剩数的真约数和大于本身[2]。准完全数(如果存在的话)真约数和为n+1。殆完全数(目前已知仅有2的幂)真约数和为n-1。
- 不可及数是指不是任何数之真约数和的数。相关研究至少可以追溯到大约公元1000年伊本·塔希尔·巴格达迪的研究,其发现2和5都是不可及数[2][3]。埃尔德什·帕尔证明有无限多个不可及数[4]。目前尚未确定5是否为唯一的奇数不可及数,但可以从哥德巴赫猜想的一种形式与半素数pq的真约数和为p+q+1的观察得出[2]。
数学家保罗·波拉克(Paul Pollack)和卡尔·帕梅朗斯指出,埃尔德什·帕尔“最喜欢的研究项目”是真约数和。[2]
迭代
[编辑]迭代真约数和函数可以产生非负整数的真约数和数列n, s(n), s(s(n)), ...(在这个数列中,我们定义s(0) = 0)。
相亲数链的真约数和数列为周期数列,相亲数是周期为2的相亲数链。
目前尚不清楚这些数列是否总是以素数、完全数或周期性的相亲数链为结尾。[5]
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10
- ^ Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408
- ^ Erdős, P., Über die Zahlen der Form und (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, (原始内容存档 (PDF)于2022-08-05)
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).