完全数

完全数，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6，恰好等於本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等於本身。后面的数是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是過剩數。

完全數的發現[编辑]

古希腊数学家欧几里得是通过 $2^{n-1}\times (2^{n}-1)$ 的表达式发现前四个完全数的。

当

n=2:2^{1}\times (2^{2}-1)=6

当

n=3:2^{2}\times (2^{3}-1)=28

当

n=5:2^{4}\times (2^{5}-1)=496

当

n=7:2^{6}\times (2^{7}-1)=8128

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式： $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ，其中 $2^{n}-1$ 是素数，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的 $6$ 和 $28$ 对应着 $n=2$ 和 $3$ 的情况。我们只要找到了一个形如 $2^{n}-1$ 的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是 $12p+1$ 或 $36p+9$ 的形式，其中 $p$ 是素数。

首十個完全數是（ A000396）：

6（1位）
28（2位）
496（3位）
8128（4位）
33550336（8位）
8589869056（10位）
137438691328（12位）
2305843008139952128（19位）
2658455991569831744654692615953842176（37位）
191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史[编辑]

古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 $n=11$ 的时候，可是 $2^{11}-1=23\times 89$ 并不是素数。因此 $n=11$ 不是完全数。另外两个错误假设是：

头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 $33550336=2^{12}(2^{13}-1)$ 是 $8$ 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 $6$ 结尾，但是第六个完全数 $8589869056$ 仍是以 $6$ 结尾，应該說完全數只有以 $6$ 和 $8$ 结尾才對。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 1 月为止，共发现了 50 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為 $2^{77232916}\times (2^{77232917}-1)$ 共有 $46498850$ 位數^[1]。

性质[编辑]

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

偶完全数都是以6或28结尾。
在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至，除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。而如果存在奇完全數，她在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。
除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成個位数，那么这个個位数一定是1^{[註 1]}：

 $28$  →  $2+8=10$  →  $1+0=1$ 
 $496$  →  $4+9+6=19$  →  $1+9=10$  →  $1+0=1$

所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从 $2^{p-1}$ 到 $2^{2p-2}$ ：

 $6=2^{1}+2^{2}$ 
 $28=2^{2}+2^{3}+2^{4}$ 
 $496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}$ 
 $8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}$

每个偶完全数都可以写成连续自然数之和^{[註 2]}：

 $6=1+2+3$ 
 $28=1+2+3+4+5+6+7$ 
 $496=1+2+3+...+30+31$

除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有 ${\sqrt {2^{p-1}}}$ )^{[註 3]}：

 $28=1^{3}+3^{3}$ 
 $496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}$ 
 $8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}$

每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

 ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2$ 
 ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2$

它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ）

 $(6)_{10}=(110)_{2}$ 
 $(28)_{10}=(11100)_{2}$ 
 $(496)_{10}=(111110000)_{2}$ 
 $(8128)_{10}=(1111111000000)_{2}$ 
 $(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}$ 
 $(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}$

奇完全數[编辑]

未解決的數學問題：奇完全數存在嗎？

用计算机已经证实：在10¹⁵⁰⁰以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。^[2]

奇完全数的部分条件[编辑]

N > 10¹⁵⁰⁰，2012年公布的结果。
N是以下形式：

N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},

其中：

q，p₁，…，p_k是不同的素数（Euler）。
q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
N的最小素因子必须小于（2k + 8） / 3（Grün 1952）。
$e_{1}$ ≡ $e_{2}$ ...≡ $e_{k}$ ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
要么q^α > 10⁶²，要么对于某个j有 $p_{j}^{2e_{j}}$ > 10⁶²（Cohen 1987）。
$N<2^{4^{k+1}}$ （Nielsen 2003）。

N的最大素因子必须大于10⁸（Takeshi Goto和Yasuo Ohno，2006）。
N的第二大素因子必须大于10⁴（Iannucci 1999，2000）。
N至少要有75个素因子，其中至少9个是不同的。如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。（Nielsen 2006；Kevin Hare 2005）。