完全数(Perfect number),又稱完美數或完備數,是一些特殊的自然数:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等於它本身,完全数不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。
例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,
,恰好等於本身。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,
,也恰好等於本身。后面的数是496、8128。
十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數,它們不是虧數就是盈數。
完全數的發現
古希腊数学家欧几里得是通过
的表达式发现前四个完全数的。
- 当


- 当


- 当


- 当


一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式:
,其中
是素数,此事實的充分性由欧几里得证明,而必要性則由歐拉所證明。
比如,上面的
和
对应着
和
的情况。我们只要找到了一个形如
的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完美数。
尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是
或
的形式,其中
是素数。
首十個完全數是(
A000396):
- 6(1位)
- 28(2位)
- 496(3位)
- 8128(4位)
- 33550336(8位)
- 8589869056(10位)
- 137438691328(12位)
- 2305843008139952128(19位)
- 2658455991569831744654692615953842176(37位)
- 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)
历史
古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当
的时候,可是
并不是素数。因此
不是完全数。另外两个错误假设是:
- 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数,第五个应该是 5 位数。
- 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。
事实上,第五个完全数
是
位数。
对于第二个假设,第五个完全数确实是以
结尾,但是第六个完全数
仍是以
结尾,应該說完全數只有以
和
结尾才對。
对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。
每一个梅森素数给出一个偶完全数;反之,每個偶完全數給出一個梅森素數,這結果稱為歐幾里得-歐拉定理。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全數為
共有
位數。
性质
以下是目前已發現的完全數共有的性質。
→
→
→
→
→
- 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从
到
:
- 除6以外的偶完全数,还可以表示成连续奇立方数之和(被加的项共有
)[註 3]:
- 每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和,都等于2:(這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。)
- 它们的二进制表达式也很有趣:(因為偶完全數形式均如
)
奇完全數
用计算机已经证实:在101500以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一個不少於7位數的質因子)但不包含3,亦不會是立方數。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。
Carl Pomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。[1]
奇完全数的部分条件
- N > 101500,2012年公布的结果。
- N是以下形式:

- 其中:
- q,p1,…,pk是不同的素数(Euler)。
- q ≡ α ≡ 1 (mod 4)(Euler)。
- N的最小素因子必须小于(2k + 8) / 3(Grün 1952)。
≡
...≡
≡ 1(mod 3)的关系不能满足(McDaniel 1970)。
- 要么qα > 1062,要么对于某个j有
> 1062(Cohen 1987)。
(Nielsen 2003)。
- N不能被105整除。[2]
- N的最大素因子必须大于108(Takeshi Goto和Yasuo Ohno,2006)。
- N的第二大素因子必须大于104(Iannucci 1999,2000)。
- N的第三大素因子必须大于100。[3]
- N的第四大素因子必须大于10。[來源請求][查证请求][來源請求][原創研究?]
- N至少要有75个素因子,其中至少9个是不同的。如果3不是素因子之一,则至少要有12个不同的素因子。(Nielsen 2006;Kevin Hare 2005)。
- 如果对于所有的i,都有
≤ 2,那么:
- N的最小素因子必须大于739(Cohen 1987)。
- α ≡ 1(mod 12)或α ≡ 9 (mod 12)(McDaniel 1970)。
Touchard定理
這個定理說明若存在奇完全數,其形式必如
或
。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明,1951年van der Pol用非線性偏微分方程得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。
證明會使用這四個結果:(下面的n,k,j,m,q均為正整數)
- 歐拉證明了奇完全數的形式必如
。[4]
表示
的正因數之和。完全數的定義即為
。
為積性函數
- 引理(甲):若
(
是正整數),則
非完全數。
- 引理(乙):若
(
是正整數),則
非完全數。
引理的證明(甲):
使用反證法,設
為完全數,且
。
。因為3的二次剩餘只有0,1,故
非平方數,因此其正因數個數為偶數。
有正因數
,則可得:
且
;或
且
。
因此,
。故
。
但
,矛盾。
故
的形式只可能為
或
。
引理的證明(乙):
使用反證法,設
為完全數,且
。
。因為4的二次剩餘只有0,1,故
非平方數,因此其正因數個數為偶數。
有正因數
,則可得:
且
;或
且
。
因此,
。故
。
但
,矛盾。
故
的形式只可能為
。
若
,根據歐拉的結果,
,綜合兩者,得
。
若
,
,得
。若
非3的倍數,3和
互質。
因為
為積性函數,可得
。
但
,出現了矛盾。故知
是3的倍數。代入
,可得
。
參考
註釋
參考資料
- ^ 存档副本. [2006-07-26]. (原始内容存档于2006-12-29).
- ^ Kühnel, Ullrich. Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift. 1950, 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691 (德语).
- ^ Iannucci, DE. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred (PDF). Mathematics of Computation. 2000, 69 (230): 867–879 [30 March 2011]. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8.
- ^ [1][永久失效連結]
參見
外部链接
- Hazewinkel, Michiel (编), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Perfect numbers – History and Theory (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 埃里克·韦斯坦因. Perfect Number. MathWorld.
- Sloane, N.J.A. (编). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
- Great Internet Mersenne Prime Search[永久失效連結]
- Perfect Numbers (页面存档备份,存于互联网档案馆), math forum at Drexel.
- Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. (原始内容存档于2013-05-31).
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