完全數
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完全數(perfect number),又稱完美數或完備數,是一些特殊的自然數:它所有的真因子(即除了自身以外的因數)的和,恰好等於它本身,完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。
例如:第一個完全數是6,它有因數1、2、3、6,除去它本身6外,其餘3個數相加,,恰好等於本身。第二個完全數是28,它有因數1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其餘5個數相加,,也恰好等於本身。後面的數是496、8128。
十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數,它們不是虧數就是盈數。
完全數的發現
[編輯]古希臘數學家歐幾里得是通過 的表達式發現前四個完全數的。
- 當
- 當
- 當
- 當
一個偶數是完美數,若且唯若它具有如下形式:,其中是質數,此事實的充分性由歐幾里得證明,而必要性則由歐拉所證明。
比如,上面的和對應著和的情況。我們只要找到了一個形如的質數(即梅森質數),也就知道了一個偶完美數。
儘管沒有發現奇完全數,但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明,若有奇完全數,則其形式必然是或的形式,其中是質數。
首十個完全數是( A000396):
- 6(1位)
- 28(2位)
- 496(3位)
- 8128(4位)
- 33550336(8位)
- 8589869056(10位)
- 137438691328(12位)
- 2305843008139952128(19位)
- 2658455991569831744654692615953842176(37位)
- 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)
歷史
[編輯]古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設,大部分都是錯誤的。其中的一個假設是:因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數,第 5 個完全數應該是第 5 個質數,即當 的時候,可是 並不是質數。因此 不是完全數。另外兩個錯誤假設是:
- 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數,第五個應該是 5 位數。
- 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。
事實上,第五個完全數 是 位數。
對於第二個假設,第五個完全數確實是以 結尾,但是1588年,義大利數學家彼得羅·卡達迪計出第六個完全數 ,仍是以 結尾,只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 和 結尾。卡達迪證明了此結論。此外,還計出第七個完全數137,438,691,328。[1][2][3]
對完全數的研究,至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。
每一個梅森質數給出一個偶完全數;反之,每個偶完全數給出一個梅森質數,這結果稱為歐幾里得-歐拉定理。到 2018 年 12 月為止,共發現了 51 個完全數,且都是偶數。最大的已知完全數為 共有 位數。
性質
[編輯]以下是目前已發現的完全數共有的性質。
- 偶完全數都是以6或28結尾[4][5]。
- 在十二進制中,除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾,甚至除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。[原創研究?][查證請求][來源請求]而如果存在奇完全數,它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾[6]。
- 在六進制中,除了6以外的偶完全數都以44結尾,甚至除了6, 28以外的偶完全數都以144或344結尾。[原創研究?][查證請求][來源請求]而如果存在奇完全數,它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾[6]。
- 除了6以外的偶完全數,把它的各位數字相加,直到變成個位數,那麼這個個位數一定是1[4][5][註 1]:
→ → → → →
- 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和,從到:
- 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和[註 2]:
- 每個完全數的所有因數(包括本身)的倒數之和,都等於2:(這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。)
- 它們的二進位表達式也很有趣:(因為偶完全數形式均如)
奇完全數
[編輯]截至2024年6月30日,用計算機已經證實:在102200以下,沒有奇完全數;至今還證明了,如果奇完全數存在,則它至少包含11個不同質數(包含一個不少於7位數的質因子)但不包含3,亦不會是立方數。一般猜測:奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限?至今都不能回答。
美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。[7]
奇完全數的部分條件
[編輯]- N > 102200[8]
- N是以下形式:
- 其中:
- N必須可以寫成12n+1,468n+117或324n+81(n為整數)的形式。[6]
- N不能被105整除。[12]
- N的最大質因子必須大於108[13],並低於 。[14]。
- N的第二大質因子必須大於104,並低於。[15][16] 。
- N的第三大質因子必須大於100。[17]
- N至少要有101個質因子,其中至少10個是不同的。[8][18] 如果3不是質因子之一,則至少要有12個不同的質因子。[19]
- 如果對於所有的i,都有 ≤ 2,那麼:
- N的最小質因子必須大於739(Cohen 1987)。
- α ≡ 1(mod 12)或α ≡ 9 (mod 12)(McDaniel 1970)。
圖查德定理
[編輯]這個定理說明若存在奇完全數,其形式必如或。最初的證明在1953年由雅克·圖查德首先證明,1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程式得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。
證明會使用這四個結果:(下面的n,k,j,m,q均為正整數)
引理的證明(甲):
使用反證法,設為完全數,且。
。因為3的二次剩餘只有0,1,故非平方數,因此其正因數個數為偶數。
有正因數,則可得:
- 且;或
- 且。
因此,。故。
但,矛盾。
故的形式只可能為或。
引理的證明(乙):
使用反證法,設為完全數,且。
。因為4的二次剩餘只有0,1,故非平方數,因此其正因數個數為偶數。
有正因數,則可得:
- 且;或
- 且。
因此,。故。
但,矛盾。
故的形式只可能為。
若,根據歐拉的結果,,綜合兩者,得。
因為為積性函數,可得。
參考
[編輯]- Odd Perfect Numbers(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Gagan Tara Nanda
註釋
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 10.
- ^ Pickover, C. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. 2001: 360 [2021-11-08]. ISBN 0-19-515799-0. (原始內容存檔於2022-03-22).
- ^ Peterson, I. Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. 2002: 132 [2021-11-08]. ISBN 88-8358-537-2. (原始內容存檔於2021-11-08).
- ^ 4.0 4.1 H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
- ^ 5.0 5.1 Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25.
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- ^ 存档副本. [2006-07-26]. (原始內容存檔於2006-12-29).
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- ^ [1][永久失效連結]
參見
[編輯]外部連結
[編輯]- Hazewinkel, Michiel (編), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Perfect numbers – History and Theory(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- 埃里克·韋斯坦因. Perfect Number. MathWorld.
- Sloane, N.J.A. (編). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
- Great Internet Mersenne Prime Search[永久失效連結]
- Perfect Numbers(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), math forum at Drexel.
- Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. (原始內容存檔於2013-05-31).
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