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完全數

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古氏積木演示完全數6

完全數Perfect number),又稱完美數完備數,是一些特殊的自然數:它所有的真因子(即除了自身以外的因數)的和,恰好等於它本身,完全數不可能是楔形數平方數佩爾數費波那契數

例如:第一個完全數是6,它有因數1、2、3、6,除去它本身6外,其餘3個數相加,,恰好等於本身。第二個完全數是28,它有因數1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其餘5個數相加,,也恰好等於本身。後面的數是4968128

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數,它們不是虧數就是盈數

完全數的發現

古希臘數學家歐幾里得是通過 的表達式發現前四個完全數的。

一個偶數是完美數,若且唯若它具有如下形式:,其中是質數,此事實的充分性由歐幾里得證明,而必要性則由歐拉所證明。

比如,上面的對應著的情況。我們只要找到了一個形如質數(即梅森質數),也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數,但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明,若有奇完全數,則其形式必然是的形式,其中是質數。

首十個完全數是(OEISA000396):

  1. 6(1位)
  2. 28(2位)
  3. 496(3位)
  4. 8128(4位)
  5. 33550336(8位)
  6. 8589869056(10位)
  7. 137438691328(12位)
  8. 2305843008139952128(19位)
  9. 2658455991569831744654692615953842176(37位)
  10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)

歷史

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設,大部分都是錯誤的。其中的一個假設是:因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數,第 5 個完全數應該是第 5 個質數,即當 的時候,可是 並不是質數。因此 不是完全數。另外兩個錯誤假設是:

  • 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數,第五個應該是 5 位數。
  • 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。

事實上,第五個完全數 位數。

對於第二個假設,第五個完全數確實是以 結尾,但是1588年,義大利數學家彼得羅·卡達迪計出第六個完全數 ,仍是以 結尾,只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 結尾。卡達迪證明了此結論。此外,還計出第七個完全數137,438,691,328。[1][2][3]

對完全數的研究,至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森質數給出一個偶完全數;反之,每個偶完全數給出一個梅森質數,這結果稱為歐幾里得-歐拉定理。到 2018 年 12 月為止,共發現了 51 個完全數,且都是偶數。最大的已知完全數為 共有 位數。

性質

以下是目前已發現的完全數共有的性質。



  • 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和,從




  • 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和[註 2]




  • 除6以外的偶完全數,還可以表示成連續奇立方數之和(被加的項共有)[註 3]




  • 每個完全數的所有因數(包括本身)的倒數之和,都等於2:(這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。)


  • 它們的二進位表達式也很有趣:(因為偶完全數形式均如







奇完全數

未解決的數學問題奇完全數存在嗎? Question mark2.svg

用計算機已經證實:在101500以下,沒有奇完全數;至今還證明了,如果奇完全數存在,則它至少包含11個不同質數(包含一個不少於7位數的質因子)但不包含3,亦不會是立方數。一般猜測:奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限?至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。[7]

奇完全數的部分條件

  • N > 101500[8]
  • N是以下形式:
其中:
  • qp1,…,pk是不同的質數(Euler)。
  • q ≡ α ≡ 1 (mod 4)(Euler)。
  • N的最小質因子必須小於[9]
  • ...≡ ≡ 1(mod 3)的關係不能滿足(McDaniel 1970)。
  • 要麼qα > 1062,要麼對於某個j > 1062[8]
  • [10][11]
  • N必須可以寫成12n+1,468n+117或324n+81(n為整數)的形式。[6]
  • N不能被105整除。[12]
  • N的最大質因子必須大於108[13],並低於 [14]
  • N的第二大質因子必須大於104,並低於[15][16]
  • N的第三大質因子必須大於100。[17]
  • N至少要有101個質因子,其中至少10個是不同的。[8][18] 如果3不是質因子之一,則至少要有12個不同的質因子。[19]
  • 如果對於所有的i,都有 ≤ 2,那麼:
    • N的最小質因子必須大於739(Cohen 1987)。
    • α ≡ 1(mod 12)或α ≡ 9 (mod 12)(McDaniel 1970)。

Touchard定理

這個定理說明若存在奇完全數,其形式必如。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明,1951年van der Pol用非線性偏微分方程式得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果:(下面的n,k,j,m,q均為正整數)

  • 歐拉證明了奇完全數的形式必如[20]
  • 表示的正因數之和。完全數的定義即為
    積性函數
  • 引理(甲):若是正整數),則非完全數。
  • 引理(乙):若是正整數),則非完全數。

引理的證明(甲):

使用反證法,設為完全數,且

。因為3的二次剩餘只有0,1,故非平方數,因此其正因數個數為偶數。

有正因數,則可得:

;或

因此,。故

,矛盾。

的形式只可能為

引理的證明(乙):

使用反證法,設為完全數,且

。因為4的二次剩餘只有0,1,故非平方數,因此其正因數個數為偶數。

有正因數,則可得:

;或

因此,。故

,矛盾。

的形式只可能為


,根據歐拉的結果,,綜合兩者,得

,得。若3倍數,3和互質。

因為為積性函數,可得

,出現了矛盾。故知3倍數。代入,可得

參考

註釋

  1. ^ 亦即,除了6以外的偶完全數,被9除都餘1。
  2. ^ 亦即,每個偶完全數都是三角形數
  3. ^ 這是因為

參考資料

  1. ^ Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 10. 
  2. ^ Pickover, C. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. 2001: 360 [2021-11-08]. ISBN 0-19-515799-0. (原始內容存檔於2022-03-22). 
  3. ^ Peterson, I. Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. 2002: 132 [2021-11-08]. ISBN 88-8358-537-2. (原始內容存檔於2021-11-08). 
  4. ^ 4.0 4.1 H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
  5. ^ 5.0 5.1 Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Roberts, T. On the Form of an Odd Perfect Number (PDF). Australian Mathematical Gazette. 2008, 35 (4): 244 [2021-03-15]. (原始內容存檔 (PDF)於2013-05-14). 
  7. ^ 存档副本. [2006-07-26]. (原始內容存檔於2006-12-29). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 101500 (PDF). Mathematics of Computation. 2012, 81 (279): 1869–1877 [2021-11-03]. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4可免費查閱. (原始內容 (PDF)存檔於2016-01-15). 
  9. ^ Zelinsky, Joshua. On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number (PDF). Integers. 3 August 2021, 21 [7 August 2021]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-11-03). 
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E. Improved upper bounds for odd multiperfect numbers.. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2014, 89 (3): 353–359. 
  11. ^ Nielsen, Pace P. An upper bound for odd perfect numbers. Integers. 2003, 3: A14–A22 [23 March 2021]. (原始內容存檔於2003-02-21). 
  12. ^ Kühnel, Ullrich. Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift. 1950, 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691 (德語). 
  13. ^ Goto, T; Ohno, Y. Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 (PDF). Mathematics of Computation. 2008, 77 (263): 1859–1868 [30 March 2011]. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9可免費查閱. (原始內容 (PDF)存檔於2011-08-07). 
  14. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter. On Prime Factors of Odd Perfect Numbers. International Journal of Number Theory. 2012, 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935. 
  15. ^ Zelinsky, Joshua. Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number. International Journal of Number Theory. July 2019, 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734可免費查閱. doi:10.1142/S1793042119500659. .
  16. ^ Iannucci, DE. The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand (PDF). Mathematics of Computation. 1999, 68 (228): 1749–1760 [30 March 2011]. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6可免費查閱. (原始內容 (PDF)存檔於2021-11-03). 
  17. ^ Iannucci, DE. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred (PDF). Mathematics of Computation. 2000, 69 (230): 867–879 [30 March 2011]. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. (原始內容存檔 (PDF)於2013-05-17). 
  18. ^ Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds (PDF). Mathematics of Computation. 2015, 84 (295): 2549–2567 [13 August 2015]. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X可免費查閱. (原始內容 (PDF)存檔於2015-07-08). 
  19. ^ Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors (PDF). Mathematics of Computation. 2007, 76 (260): 2109–2126 [30 March 2011]. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. arXiv:math/0602485可免費查閱. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. (原始內容 (PDF)存檔於2021-11-03). 
  20. ^ [1][永久失效連結]

參見

外部連結