佩尔数

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佩尔数是一个自古以来就知道的整数数列,由递推关系定义,与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长,增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算術平方根的近似值以及三角平方数的定义中,也出现在一些组合数学的问题中。

定义[编辑]

佩尔数由以下的递推关系定义:

P_n=\begin{cases}0&\mbox{if }n=0;\\1&\mbox{if }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}

也就是说,佩尔数的数列从0和1开始,以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数。最初几个佩尔数是:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… (OEIS中的数列A000129)。

佩尔数也可以用通项公式来定义:

P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

对于较大的n\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n的项起主要作用,而\scriptstyle (1-\sqrt 2)^n的项则变得微乎其微。因此佩尔数大约与白银比\scriptstyle (1+\sqrt 2)的幂成正比。

第三种定义是以下的矩阵公式:

\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.

从这些定义中,可以推出或证明许多恒等式;例如以下的恒等式,与斐波那契数的卡西尼恒等式类似:

P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,

这个恒等式是以上矩阵公式的直接结果(考虑矩阵的行列式)。

2的算術平方根的近似值[编辑]

佩尔数出现在2的算術平方根有理数近似值中。如果两个大的整数xy佩尔方程的解:

\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,

那么它们的比\tfrac{x}{y}就是\scriptstyle\sqrt 2的一个较精确的近似值。这种形式的近似值的数列是:

1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots

其中每一个分数的分母是佩尔数,分子则是这个数与前一个佩尔数的和。也就是说,佩尔方程的解具有\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}的形式。\sqrt 2\approx\frac{577}{408}是这些近似值中的第八个,在公元前3或4世纪就已经为印度数学家所知。公元前5世纪的古希腊数学家也知道这个近似值的数列;他们把这个数列的分母和分子称为“边长和直径数”,分子也称为“有理对角线”或“有理直径”。

这些近似值可以从\scriptstyle\sqrt 2连分数展开式推出:

\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}}.

取这个展开式的有限个项,便可以产生\scriptstyle\sqrt 2的一个近似值,例如:

\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.

素数和平方数[编辑]

佩尔素数是既是佩尔数又是素数的数。最初几个佩尔素数是:

2, 5, 29, 5741, …… (OEIS中的数列A086383)。

与斐波那契素数相似,仅当n本身是素数时P_n才有可能是素数。

唯一的既是佩尔数又是平方数、立方数或任意整数次方的数是0, 1, 以及169 = 132

然而,佩尔数与三角平方数有密切的关系。它们出现在以下佩尔数的恒等式中:

\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.

等式的左面是平方数,等式的右面是三角形数,因此是三角平方数。

Santana和Diaz-Barrero在2006年证明了佩尔数与平方数之间的另外一个恒等式,并证明了从P_1P_{4n+1}的所有佩尔数的和总是平方数:

\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+P_{2n+1})^2.

例如,从P_1P_5的和是0+1+2+5+12+29=49,是P_2+P_3=2+5=7的平方。P_{2n}+P_{2n+1}就是这个和的平方根:

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… (OEIS中的数列A002315)。

勾股数[编辑]

边长为整数的直角三角形,其直角边几乎相等,由佩尔数引出。

如果一个直角三角形的边长为abc(必须满足勾股定理a2+b2=c2),那么(a,b,c)称为勾股数。Martin在1875年描述,佩尔数可以用来产生勾股数,其中ab相差一个单位。这个勾股数具有以下形式:

(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}).

用这种方法产生的勾股数的序列是:

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ……

佩尔-卢卡斯数[编辑]

佩尔-卢卡斯数由以下的递推关系定义:

Q_n=\begin{cases}2&\mbox{if }n=0;\\2&\mbox{if }n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}

也就是说,数列中的最初两个数都是2,后面每一个数都是前一个数的两倍加上再前面的一个数。这个数列的最初几个项是(OEIS中的数列A002203):2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩尔-卢卡斯数的通项公式为:

Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.

这些数都是偶数,每一个数都是以上\scriptstyle\sqrt 2的近似值中的分子的两倍。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]