真约数和

真约数和，又称真因子和，在数论中，一个正整数的所有真约数之和，即除了自己本身外的所有正约数之和，通常以 $s(n)$ 来表示：

s(n)=\sum _{d|n,\ d\neq n}d.

真约数和可以用来描述素数、完全数、相亲数链、亏数、过剩数和不可及数，也可以用于定义整数的真约数和数列。

真约数和函数 $s(n)$ 与1次除数函数 $\sigma _{1}(n)$ 的关系仅差 $n$ ：^[1]

s(n)=\sigma _{1}(n)-n

例子

以12为例，12的真约数（即除了自己本身外的所有正约数）有1、2、3、4和6，则其真约数和为 ${{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16$

下面数列呈现前几个整数的真约数和 $s(n),n=1,2,3,...$ ^[1]

0、 1、 1、 3、 1、 6、 1、 7、 4、 8、 1、 16、 1、 10、 9、 15、 1、 21、 1、 22、 11、 14、 1、 36、 6、 16、 13、 28、 1、 42、 1、 31、 15、 20、 13、 55、 1、 22、 17、 50、 1、 54、 1、 40、 33、 26、 1、 76、 8、 43、 21 …… （OEIS数列A001065）

数字类别的性质

真约数和函数可以用来区分几个特别的数字类别：

1是唯一一个真约数和为0的正整数。
如果一个正整数真约数和为1则代表该数是一个素数^[2]。
完全数的真约数和等于本身、亏数的真约数和小于本身、过剩数的真约数和大于本身^[2]。准完全数（如果存在的话）真约数和为n+1。殆完全数（目前已知仅有2的幂）真约数和为n-1。
不可及数是指不是任何数之真约数和的数。相关研究至少可以追溯到大约公元1000年伊本·塔希尔·巴格达迪（英语：Abu Mansur al-Baghdadi）的研究，其发现2和5都是不可及数^[2]^[3]。埃尔德什·帕尔证明有无限多个不可及数^[4]。目前尚未确定5是否为唯一的奇数不可及数，但可以从哥德巴赫猜想的一种形式与半素数pq的真约数和为p+q+1的观察得出^[2]。

数学家保罗·波拉克（Paul Pollack）和卡尔·帕梅朗斯指出，埃尔德什·帕尔“最喜欢的研究项目”是真约数和。^[2]

迭代

迭代真约数和函数可以产生非负整数的真约数和数列 $n, s (n), s (s (n)), ...$ （在这个数列中，我们定义 $s (0) = 0$ ）。

相亲数链的真约数和数列为周期数列（英语：Periodic sequence），相亲数是周期为2的相亲数链。

目前尚不清楚这些数列是否总是以素数、完全数或周期性的相亲数链为结尾。^[5]

参见

除数函数：一数之正约数的 $x$ 次方和
纪尧姆·德奥贝里夫（英语：William of Auberive）：中世纪的命理学家，对真约数和感兴趣

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10
^ Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408
^ Erdős, P., Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, （原始内容存档 (PDF)于2022-08-05）
^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

外部链接

埃里克·韦斯坦因. Restricted Divisor Function. MathWorld.

[mathworld-2] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[pp-3] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10

[s-4] Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408

[e-5] Erdős, P., Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, （原始内容存档 (PDF)于2022-08-05）

[6] Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

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