跳转到内容

莫雷角三分线定理

维基百科,自由的百科全书

欧几里得几何中,莫雷角三分线定理(Morley's theorem)说明对所有的三角形,其三个内角角三分线,靠近公共边三分线的三个交点,是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线,也会有类似的性质,可以再作出4个等边三角形。

此定理没办法用尺规作图作出其等边三角形,因为已经证明出尺规作图无法作出三等分角

证明

[编辑]

引理

[编辑]

三倍角公式和差公式可得出:

引理证明

[编辑]
莫雷角三分线定理证明

定理证明

[编辑]

中:

的三等分角
的三等分角
的三等分角

作6条角三分线分别为,作上,且

容易得出,由此等式还可以得出以下三式:

正弦定理可得出:

从这里可以得出的三个内角,计算出正弦值:

我们知道:

从引理我们可以得出:

化简后得出:

因为相似,所以可得出:

同理可得出:

综合以上结果,可得出,因此是等边三角形

推广

[编辑]

更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表,将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°,其交点共可得出27个不同的等边三角形。

参见

[编辑]

参考资料

[编辑]