莫雷角三分线定理
外观
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Morley_triangle.png/200px-Morley_triangle.png)
在欧几里得几何中,莫雷角三分线定理(Morley's theorem)说明对所有的三角形,其三个内角作角三分线,靠近公共边三分线的三个交点,是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线,也会有类似的性质,可以再作出4个等边三角形。
此定理没办法用尺规作图作出其等边三角形,因为已经证明出尺规作图无法作出三等分角。
证明
[编辑]引理
[编辑]引理证明
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Morley_Proof.svg/480px-Morley_Proof.svg.png)
定理证明
[编辑]在中:
- 是的三等分角
- 是的三等分角
- 是的三等分角
作6条角三分线分别为、、、、、,作、、在上,且、
容易得出,由此等式还可以得出以下三式:
由正弦定理可得出:
从这里可以得出的三个内角,计算出和的正弦值:
我们知道:
从引理我们可以得出:
化简后得出:
因为和相似,所以可得出:
同理可得出:
综合以上结果,可得出,因此是等边三角形
推广
[编辑]更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表,将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°,其交点共可得出27个不同的等边三角形。
参见
[编辑]参考资料
[编辑]- Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
- Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Morleys Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆) MathWorld
- Morley's Trisection Theorem MathPages