在统计学与概率论中,协方差矩阵(covariance matrix)是一个方阵,代表着任两列随机变量间的协方差,是协方差的直接推广。
定义 —
设 是概率空间, 与 是定义在 上的两列实数随机变量序列
若二者对应的期望分别为:
则这两列随机变量间的协方差矩阵为:
将之以矩形表示的话就是:
根据测度积分的线性性质,协方差矩阵还可以进一步化简为:
以上定义所述的随机变量序列 和 ,也可分别以用行向量 与 表示,换句话说:
-
这样的话,对于 个定义在 上的随机变量 所组成的矩阵 , 定义:
也就是说
那上小节定义的协方差矩阵就可以记为:
所以协方差矩阵也可对 与 来定义:
也有人把以下的 称为协方差矩阵:
但本页面沿用威廉·费勒的说法,把 称为 的方差(variance of random vector),来跟 作区别。这是因为:
换句话说, 的对角线由随机变量 的方差所组成。据此,也有人也把 称为方差-协方差矩阵(variance–covariance matrix)。
更有人因为方差和离差的相关性,含混的将 称为离差矩阵。
有以下的基本性质:
- 是半正定的和对称的矩阵。
- 若 ,则有
- 若 与 是独立的,则有
尽管协方差矩阵很简单,可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵,这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看,也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。
这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis),在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。
均值为的复随机标量变量的方差定义如下(使用共轭复数):
其中复数的共轭记为。
如果 是一个复列向量,则取其共轭转置,得到一个方阵:
其中为共轭转置, 它对于标量也成立,因为标量的转置还是标量。
多元正态分布的协方差矩阵的估计的推导非常精致. 它需要用到谱定义以及为什么把标量看做矩阵的迹更好的原因。参见协方差矩阵的估计。