导集

在数学，特别是点集拓扑学中，拓扑空间的子集 $S$ 的导集（导出集合）是 $S$ 的所有极限点的集合。它通常记为 $S'$ 。

这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年引入的，他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。

导集公理[编辑]

导集是拓扑学的基础概念之一，可以用来定义拓扑空间。给定集合 $X$ ，考虑一个定义在 $X$ 的幂集 ${\mathcal {P}}(X)$ 上的运算 $d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ ，若 $d$ 满足以下导集公理，则称 $d$ 为导集运算：

D₁： $d(\emptyset )=\emptyset$
D₂： $d(d(A))\subseteq d(A)\cup A$
D₃： $\forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})$
D₄： $d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)$

$d(A)$ 称为 $A$ 的导集。

从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念：

闭集： $X$ 的子集 $A$ 是闭集，当且仅当 $d(A)\subseteq A$ 。（从此处可以看到和闭集公理的等价性，从而可以等价地定义拓扑空间。）
同胚：拓扑空间 $T_{1}(X_{1},\tau _{1})$ 、 $T_{1}(X_{2},\tau _{2})$ 同胚，当且仅当存在双射 $f:{\mathcal {P}}(X_{1})\to {\mathcal {P}}(X_{2})$ ，使得 $\forall A\subseteq X_{1},\ f(d(A))=d(f(A))$ 。

性质[编辑]

$S,T\subseteq X$ ，若 $S\cap T=\emptyset$ ， $S\cap d(T)=\emptyset$ ， $d(S)\cap T=\emptyset$ 。则称 $S$ 和 $T$ 是分离的。（注意： $d(S)\cap d(T)$ 不一定为 $\emptyset$ ）。
集合 $S$ 被定义为完美的，如果 $S=d(S)$ 。等价地说，完美集合是没有孤点的闭集。完美集合又称为完备集合。
Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的并集。因为任何波兰空间的 $G_{\delta }$ 子集都再次是波兰空间，这个定理还证明了任何波兰空间的 $G_{\delta }$ 子集都是可数集合和完美集合的并集。
拓扑空间 $X$ 是T₁ 空间，当且仅当 $\forall x\in X,\ d(\{x\})=\emptyset$ 。