在量子力学里,表达粒子的量子态的波函数必须满足归一条件(归一化,或规范化,英语:be normalized),也就是说,在空间内,找到粒子的概率必须等于
。这性质称为归一性。用数学公式表达,
;
其中,
是粒子的位置,
是波函数。
一般而言,波函数
是一个复函数。可是,
是一个实函数,大于或等于
,称为“概率密度函数”。所以,在区域
内,找到粒子的概率
是
;(1) 。
既然粒子存在于空间,概率是
。所以,积分于整个一维空间:
。(2)
假若,从解析薛定谔方程而得到的波函数
,其概率
是有限的,但不等于
,则可以将波函数
乘以一个常数,使概率
等于
。或者,假若波函数内,已经有一个任意常数,可以设定这任意常数的值,使概率
等于
。
在一维空间内,束缚于区域
内的一个粒子,其波函数是
;
其中,
是波数,
是角频率,
是任意常数。
计算能够使波函数归一化的常数值
。将波函数代入:
。
积分于整个粒子存在的区域:
。
稍加运算,
。
归一化的波函数是:
。
薛定谔方程为
;
其中,
是约化普朗克常数,
是位势,
是能量。
将波函数
归一化为
。则薛定谔方程成为
![{\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02a80b5689be4103b20cc7d40a5a2034ef28268)
![{\displaystyle \Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf4a4e2d4469566997a1b7cfb302ed99e373174)
。
薛定谔方程的形式不变。对于归一化,薛定谔方程是个不变式,因为薛定谔方程是个线性微分方程。
一个表达粒子量子态的波函数,必须满足粒子的薛定谔方程。既然
和
都能够满足同样的薛定谔方程,它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数,则只能知道概率的相对大小;否则,使用归一化的波函数,可以知道绝对的概率。这对于量子问题的解析,会提供许多便利。
给予一个归一化的波函数.随着时间的变化,波函数也会改变.假若,随着时间改变的波函数不再满足归一条件,则势必要重新将波函数归一化.这样,归一常数
变得含时间.很幸运地,满足薛定谔方程的波函数的归一性是恒定的.设定波函数
满足薛定谔方程与归一条件:
,
;
假若,归一性是恒定的,则概率
不含时间。为了显示这一点,先计算
:
。
展开被积函数
。
编排薛定谔方程,可以得到波函数
对于时间的偏导数:
。
共轭波函数
对于时间的偏导数为
。
将
与
代入被积函数
。
代入
的方程:
。
可是,在
,
与
都等于 0 .所以,
。
概率
不含时间。波函数的归一化是恒定的。
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.