纳什嵌入定理

纳什嵌入定理(Nash embedding theorems)：，以约翰·福布斯·纳什命名，指出每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 Rⁿ。

“等距”表示“保持曲线长度”。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧几里得空间的子流形。第一个定理适用于 C¹-光滑嵌入，第二个用于解析或C^k, 3 ≤ k ≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但有一些很违反直观的结果，而第二个非常具有技术性但其结论比较不太出乎意料。

C¹定理发表于1954年，C^k定理发表于1956年。解析的情形则最先由纳什于1966年处理，其中的论证后来在Greene & Jacobowitz (1971)中简化了很多。（这个定理的一个局部版本由埃利·嘉当与Maurice Janet 在1920年代证出。）纳什对C^k的证明后来发展成h-原则和纳什–Moser隐函数定理。纳什的第二个嵌入定理的一个简化证明由Günther (1989)给出，方法是将纳什的非线性偏微分方程组约化成椭圆系统，而压缩映射定理能够应用于后者。

纳什-科伊伯定理(Nash-Kuiper theorem ,C¹嵌入定理)

定理 令$(M,g)$为一黎曼流形而$f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$为一个短的$C^{\infty }$光滑嵌入（或浸入(immersion)）到欧几里得空间$\mathbb {R} ^{n}$, $n\geq m+1$。（“短”表示缩短曲线长度。）则对于任意$\epsilon >0$存在嵌入(或浸入)$f_{\epsilon }:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$满足

(i) $C^{1}$-光滑,

(ii) 等距， 也即对于在点$x\in M$的切空间任何两个向量$v,w\in T_{x}(M)$，我们有$g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle$.

(iii) $\epsilon$-接近f, i.e. :$|f(x)-f_{\epsilon }(x)|<\epsilon$ 对于所有$x\in M$。

特别的是，因为它从惠特尼嵌入定理（Whitney embedding theorem）得出，任何m-维黎曼流形可以有一个等距$C^{1}$-嵌入到2m-维欧几里得空间中的任意小的邻域。定理最初由纳什在条件$n\geq m+2$而不是$n\geq m+1$下证明，不过他提示了改进到$n\geq m+1$的方法，尔后被尼古拉·科伊伯(Nicolaas Kuiper)推广到$n\geq m+1$。

定理有很多反直观的推导结果。例如，可以得出任何闭可定向黎曼曲面可以$C^{1}$等距嵌入到在欧几里得三维空间中的任意小球（对足够小的ε，不存在这样的等距$C^{2}$-嵌入，因为由高斯曲率的公式，这样的嵌入的极点会有曲率≥ ε⁻²，违反绝妙定理所指出的等距$C^{2}$-嵌入保持高斯曲率不变）。

C^k嵌入定理

技术性的陈述如下: 若M为一给定m-维黎曼流形 (解析或属于C^k类, 3 ≤ k ≤ ∞), 则存在n ($n=m^{2}+5m+3$ 就可以)和一个单射f : M -> Rⁿ (也是解析的或者属于C^k类)使得对于M的所有点p，导数 df_p 是一个线性映射从切空间 T_pM 到Rⁿ，和给定在T_pM上的内积和Rⁿ的标准内积在如下意义下兼容:

< u, v > = df_p(u) · df_p(v)

对于T_pM中的所有向量u, v。 这是偏微分方程(PDE)的不定系统。

纳什嵌入定理是全局系统，因为整个流形嵌入到了Rⁿ。局部嵌入定理要简单得多，可以在流形的座标邻域中用高等微积分的隐函数定理证明。这里给出的全局嵌入定理的证明依赖于纳什对隐函数定理的极大推广版本，Nash-Moser定理和带后处理(postconditioning)的牛顿法(见参考)。纳什解决嵌入问题的基本思想是采用牛顿法来证明该PDE系统有解。标准的牛顿法应用于该系统时不收敛，所以纳什利用光滑化算子来保证牛顿循环收敛。这个改变了的牛顿法成为带后处理的牛顿法。平滑算子由卷积定义。该平滑算子保证了循环的趋向于一个根，使得它可以用来作为存在性定理。通过证明PDE系统存在一个根就证明了黎曼流形的等距嵌入的存在性。有一个更老的循环称为Kantovorich循环，它是只用牛顿方法的存在性定理(所以不用平滑算子)。

参考文献

• Greene, Robert E.; Jacobowitz, Howard, Analytic Isometric Embeddings, Annals of Mathematics, 1971, 93 (1): 189–204, JSTOR 1970760, MR 0283728, doi:10.2307/1970760 
• Günther, Matthias, Zum Einbettungssatz von J. Nash [On the embedding theorem of J. Nash], Mathematische Nachrichten, 1989, 144: 165–187, MR 1037168, doi:10.1002/mana.19891440113 （德语） 
• N.H.Kuiper: "On C¹-isometric imbeddings I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 58 (1955), pp 545-556.
• John Nash: "C¹-isometric imbeddings", Annals of Mathematics, 60 (1954), pp 383-396.
• John Nash: "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1956), pp 20-63.
• John Nash: "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data" Annals of Mathematics, 84 (1966), pp 345-355.

外部链接

• Hevea Project: The Press Folder. （原始内容存档于2012-06-18） （英语）. 描绘平坦环面等距C¹-嵌入到R³的图像的计划