在数学里,集合建构式符号(set-builder notation)是常用于描述集合的一种记号,这种描述集合的方式一般也称为集合抽象化(set abstraction)或set comprehension。一般写为
或
,分别只在于论域的不同,前者的元素恰好是那些符合谓词P的集合,而后者的元素除了符合谓词P,还得是S的元素。
海什木(Alhazen)的正整数和公式推导。
以三角形数的集合为例。三角形数有一个规则,它是正整数的和。
下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素:
![{\displaystyle 1=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d99fe618d7f25081f5f92fb9556b41e772bddc)
![{\displaystyle 1+2=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f7e9a80913b9d5ec8d169140265d3e2fff5b4b)
![{\displaystyle 1+2+3=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a8e20ad2745b7c3528c2530d174da207467411)
![{\displaystyle 1+2+3+4=10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25cf2198514b7f13b27bb7462dc9e031f14c31f)
![{\displaystyle 1+2+3+4+5=15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003c4d43a79bde2b0e0382d6554c4d1256b9330d)
![{\displaystyle 1+2+3+4+5+6=21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9538eed90f0e06c22cd54dc492f74e8e9645668a)
![{\displaystyle \qquad \qquad \quad \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c145e81534ddb4cab4458eed453ca53f1d2417)
![{\displaystyle 1+2+3+\ldots +n=S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9877969a96bcd864496562a0196a81f3b2ce855d)
- 其中,n是正整数,S是左式的结果。
于是我们归纳出一个规则(即公式):
![{\displaystyle 1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922347bb66f82d91dbeff0ef75a993f6dafec726)
这个规则可代表集合T中的元素。于是,集合T可以简写为:
![{\displaystyle T=\left\{S~\left|~S={\frac {n(n+1)}{2}},n\in \mathbb {N} ^{+}\right.\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83eb7cda86f51ae58a2ec79f28e1e7d9c2e1de6)
在上面的简单范例中,我们将一个繁复的集合表示法,透过一个简单的规则,重新以简单的符号来表示这个集合。
当一个集合的元素是用某种公式或条件(亦即,一个函数)所产生,这时候就可以用集合建构式来表示,例如:
- 偶数集合 =
是2的倍数![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
- 负数集合 =
是小于0的数![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
就哲学上来说,这些元素具有某种共同的性质(2的倍数,或是小于0);在一阶逻辑中,这个性质可以使用谓词来表示,而该集合的一般格式为:
![{\displaystyle A=\{x:P(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1298b94c7ddc74e93cc37c607b031c0e9ee9d77)
以偶数集合为例,其谓词
“是2的倍数”。
“
是2的倍数”,被称为一个命题函数。
集合
的元素必定是另一个集合
的元素
,使得
为真(亦即,
是
的一个子集),一般表述为:
或是![{\displaystyle A=\{x\in B:P(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2913e3fa37253c29012c0bf15802697ba7919166)
在这里,
是谓词,
是主词(
集合中的一个元素),
是一个传回真假值的命题函数:
![{\displaystyle P\colon B\rightarrow \{true,false\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8bb21e426ae8b37deae031cf3b8d2336a1f9a2)
所以,在数学中,谓词被视为一种布林值函数。
在实例中,如果没有指定
集合,就表示
集合是由谓词
所给出。
集合建构式例句[编辑]
- 正整数集合可用下列建构式表示:
是大于0的整数![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
![{\displaystyle \{x:x>0\land x\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e236d36be52d0ddb403e6b9a6fa1ef9426fac946)
- 偶数集合可用下列建构式表示:
是2的倍数![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
![{\displaystyle \{x:x=2k,k\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4412b6b57acdecd1bb25fc4f18f1d46d931c28d)
- 负数集合可用下列建构式表示:
是小于0的数![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
![{\displaystyle \{x~|~\forall x\in \mathbb {R} ,x<0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5866b90283d74ec20ab8dfb5ac5a280c5f21c172)
![{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ~|~x<0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e896948009b7442f135c728927ea34642cc4c114)
- 平方数集合可用下列建构式表示:
是某个整数的平方![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825)
![{\displaystyle \{x:x=k^{2};k\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13516af48b2ec752a1dcdc7dd59cf149f49c639f)
![{\displaystyle \{x^{2}:x\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa0b8aae394cf67054ee5d7db6ff5893a783729)
s.t. ![{\displaystyle k^{2}=x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d202fabbeb74af155da678c95d4a426a863e06)
在这里,有几个习惯用法:
- 冒号和竖线是一样的,意思是“使得(such that,简写为s.t.)”。一般来说,冒号与竖线只使用在最前面,接下来的“使得”都使用别的符号,例如s.t.或是
。但是偶尔也会看到这样的句子,奇数:
![{\displaystyle \{n\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} :n=2k+1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375d11b57f1c61994f17e9cb1dd579588a25b1fd)
- 另一个更简洁的句子可以表达相同的意思:
![{\displaystyle \{2n+1:n\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a7efe998a2fd2293b0f95ae54d58da76e5eb4c)
- 一般来说,
是省略不写的,但是偶尔会看到使用
的句子。一个复杂的例句如下,非平方数:
![{\displaystyle \{x\in \mathbb {N} :\forall k\in \mathbb {Z} ,k^{2}\neq x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3aeadc652cdef3b42a0b50e02b62bcb0a1e777)
外部链接[编辑]