Up to
在数学领域，词组“up to xxx”表示为了某种目的同一等价类中的元素视为一体。“xxxx”描述了某种性质或将中元素变为同一等价类中另一个的操作（即将元素和它变为的那个等价）。例如在群论中，我们有一个群G作用在集合X上，在此情形：如果X中两个元素在同一轨道中，我们可以说它们等价“up to群作用”。
中文中没有类似对应的词组，翻译成中文时，可以斟酌译为：“不别⋯⋯之异”、“不辨⋯⋯之别”、“在xxx的意义下”、“差一个xxx”等。比如上面可以翻译为“差一个群作用的意义下等价”。但是，这个翻译是既迂回又笨拙，因为数学中“在xxx的意义下”通常是对有数个不等价定义的词语指定其意义，对应英文“in the sense of”，例如“这个函数在勒贝格的意义下可积，但是在黎曼的意义下不可积”，就对“可积”一词先后指定两个不等价的定义；然而，数学中英文短语“up to”的重点不在确定某词语的定义，而在省略掉一些非本质的次要差异。
举例
[编辑]- 在八皇后问题中，若把八个皇后看做不同的个体，则不同的解有3,709,440个。一般将八个皇后看作完全相同，此时有92（3709440/8!）种不同的解，不考虑皇后间的不同排列组合（所对应的等价关系）。也就是说，我们将单个皇后的位置不同，但所有皇后所占棋盘位置集相同的解等价起来，并只考虑不同的等价类。
- 在上述解中，如果同时将可由棋盘旋转、翻转来互相转换的解等价起来，则只剩下12个不同的解（等价类）。
- 群论中，称G集中同一轨道上的元素up to群作用等价。
- 群论中，up to群同构，只有两种不同的四元素群。也就是说，所有四元素群通过群同构仅有两个不同的等价类。
- 范畴论中，由泛性质确定的态射如存在多个，则它们之间up to同构相等（又称本质相等），或者说，由泛性质所确定的态射up to同构唯一。
- 并发理论中，证明进程间的互模拟往往需要构造很大的互模拟关系。而借助“up to……互模拟”技术，可仅构造已知包含在互模拟关系中的某种“up to……互模拟”关系来简化证明。
说明
[编辑]与“Up to”非常接近的一个词是模（modulo），如整数1和5模4相等。