Up to
在數學領域，詞組「up to xxx」表示為了某種目的同一等價類中的元素視為一體。「xxxx」描述了某種性質或將中元素變為同一等價類中另一個的操作（即將元素和它變為的那個等價）。例如在群論中，我們有一個群G作用在集合X上，在此情形：如果X中兩個元素在同一軌道中，我們可以說它們等價「up to群作用」。
中文中沒有類似對應的詞組，翻譯成中文時，可以斟酌譯為：「不別⋯⋯之異」、「不辨⋯⋯之別」、「在xxx的意義下」、「差一個xxx」等。比如上面可以翻譯為「差一個群作用的意義下等價」。但是，這個翻譯是既迂迴又笨拙，因為數學中「在xxx的意義下」通常是對有數個不等價定義的詞語指定其意義，對應英文「in the sense of」，例如「這個函數在勒貝格的意義下可積，但是在黎曼的意義下不可積」，就對「可積」一詞先後指定兩個不等價的定義；然而，數學中英文短語「up to」的重點不在確定某詞語的定義，而在省略掉一些非本質的次要差異。
舉例
[編輯]- 在八皇后問題中，若把八個皇后看做不同的個體，則不同的解有3,709,440個。一般將八個皇后看作完全相同，此時有92（3709440/8!）種不同的解，不考慮皇后間的不同排列組合（所對應的等價關係）。也就是說，我們將單個皇后的位置不同，但所有皇后所占棋盤位置集相同的解等價起來，並只考慮不同的等價類。
- 在上述解中，如果同時將可由棋盤旋轉、翻轉來互相轉換的解等價起來，則只剩下12個不同的解（等價類）。
- 群論中，稱G集中同一軌道上的元素up to群作用等價。
- 群論中，up to群同構，只有兩種不同的四元素群。也就是說，所有四元素群通過群同構僅有兩個不同的等價類。
- 範疇論中，由泛性質確定的態射如存在多個，則它們之間up to同構相等（又稱本質相等），或者說，由泛性質所確定的態射up to同構唯一。
- 並發理論中，證明進程間的互模擬往往需要構造很大的互模擬關係。而藉助「up to……互模擬」技術，可僅構造已知包含在互模擬關係中的某種「up to……互模擬」關係來簡化證明。
說明
[編輯]與「Up to」非常接近的一個詞是模（modulo），如整數1和5模4相等。