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海曼多項式

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數學中,海曼多項式(Hermite polynomials)是一種經典的正交多項式族,得名於法國數學家夏爾·海曼機率論裡的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到海曼多項式。在組合數學中,海曼多項式是阿佩爾方程式的解。物理學中,海曼多項式給出了量子諧振子本徵態

定義

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前六個(機率論中的)海曼多項式的圖像。

海曼多項式有兩種常見定義。

第一種是機率論中較為常用的形式(記作:):

另一種是物理學中較為常用的形式(記作:):

物理學捨棄了常係數0.5,兩定義之間的關係是:

機率論中常用第一種定義,因為是標準常態分布函數(數學期望值等於0,標準差等於1)的機率密度函數

前六個(物理學中的)海曼多項式的圖像。
前六個機率學和物理學中的海曼多項式
序號 機率學 物理學

性質

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多項式Hn 是一個n次的多項式。機率論的海曼多項式是首一多項式(最高次項係數等於1),而物理學的海曼多項式的最高次項係數等於2n

正交性

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多項式Hn 的次數與序號n 相同,所以不同的海曼多項式的次數不一樣。對於給定的權函數 w,海曼多項式的序列將會是正交序列。

   (機率論)
   (物理學)

也就是說,當m ≠ n 時:

除此之外,還有:

   (機率論)
   (物理學)

其中克羅內克函數

從上式可以看到,機率論中的海曼多項式與標準常態分布正交。

完備性

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在所有滿足

的函數所構成的完備空間中,海曼多項式序列構成一組。其中的內積定義如下:

海曼微分方程式

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機率論中的海曼多項式是以下微分方程式的解:

方程式的邊界條件為:應在無窮遠處有界。

其中是這個方程式的本徵值,是一個常數。要滿足上述邊界條件,應取。對於一個特定的本徵值,對應著一個特定的固有函數解,即

物理學中的海曼多項式則是以下微分方程式的解:

其本徵值同樣為,對應的固有函數解為

以上兩個微分方程式都稱為海曼方程式

參考文獻

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  • Arfken, Mathematical Methods for Physicists
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
  • Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
  • Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953 .
  • Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955 
  • Fedoryuk, M.V., H/h046980, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
  • Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955 
  • Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962. 
  • Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

外部連結

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