數學中,m-流形M的柄分解(handle decomposition)是並
其中
都由
附加一個i-柄(handle)而來。柄分解之於流形就像CW分解之於拓撲空間—在很多方面,柄分解的目的是得到一種適用於光滑流形情形的類CW復形的語言。因此,i-柄就是i-胞腔的光滑類似物。流形的柄分解是從莫爾斯理論自然產生的。並結構的修改與瑟夫理論密切相關。
附著了3個1-柄的3-球。
考慮n-球的標準CW分解,其中有一個零胞腔與一個n-胞腔。從光滑流形的角度來看,這是球面的退化分解,因為沒有自然方法從分解的角度來看
的光滑結構—尤其是0-胞腔附近的光滑結構取決於特徵映射
在
的鄰域中的行為。
CW分解的問題在於,胞腔的附著映射不屬於流形間的光滑映射。管狀鄰域定理是糾正這一缺陷的萌芽。給定流形M中的點p,其閉管狀鄰域
微分同胚於
,因此我們將M分解為沿
、
的共同邊界膠合的不交並。這裡的關鍵問題是,膠合映射是微分同胚映射。同樣,取
中的光滑嵌入弧,其管狀鄰域微分同胚於
。這樣就可以把M寫成三個流形的並,沿它們一部分邊界膠合:1)
2)
3)
中弧的開管狀鄰域的補。注意所有膠合映射都是光滑的,特別是將
膠合至
時,等價關係由
在
中的嵌入生成,根據管狀鄰域定理它是光滑的。
柄分解是史蒂芬·斯梅爾的發明。[1]他的最初表述中,將j-柄附著到m-流形M的過程假定有
的光滑嵌入。令
,流形
(即M沿f並上一個j-柄)是指M與
的不交並,
與其在
中的像相等,即
其中等價關係
由
生成,
。
若M的並具有有限多個j-柄,且微分同胚於流形N,則稱N來自在M上附著j-柄。則柄分解的定義與概述中相同。於是,若流形微分同胚於球的不交並,則流形的柄分解將只有0-柄。連通流形只含有兩種柄(即0-柄與j-柄,其中j為定值),也稱作柄體。
M並上j-柄
時,
稱作被附著球面(attaching sphere)。
f有時也稱作被附著球面的框架(framing),因為它將其法叢平凡化。
是柄
在
中的帶球(belt sphere)。
將g個k-柄附著到圓盤
所得的流形是虧格為g的(m,k)-柄體。
配邊W的柄演示中有
,且有漸進並
其中M是m維的,W是m+1維的,
微分同胚於
,
來自
附著以i-柄。若說柄分解之於流形好比胞腔分解之於拓撲空間,擇配邊的柄演示之於有界流形就好比相關胞腔分解之於空間對。
給定緊無界流形M上的莫爾斯函數
,使f的臨界點
滿足
,並有
則
微分同胚於
,其中
是臨界點
的指標,是黑塞矩陣為負定的切空間
的最大子空間的維度。
令指標滿足
,則這是M的柄分解;由於流形上必有這樣的莫爾斯函數,所以它們都有柄分解。相似地,給定配邊W滿足
、函數
,其在內部是莫爾斯的,在邊界為常數,且滿足指標遞增,則配邊W有誘導柄演示。
若f是M上的莫爾斯函數,則-f也是莫爾斯函數。相應的柄分解/演示稱作對偶分解。
- 閉有向3-流形的希加德分裂將3-流形分解為兩(3,1)-柄體沿共同邊界之並,公共邊界稱作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好幾種自然的產生方式:給定3-流形的柄分解,0、1-柄之交是(3,1)-柄體,3、2-柄的並也是(3,1)-柄體(從對偶分解的角度來看),於是是希加德分裂。若3-流形有三角化T,則有誘導希加德分裂,其中第一個(3,1)-柄體是1-骨架(skeleton)
的正則鄰域,其他(3,1)-柄體是對偶1-骨架的正則鄰域。
- 相繼附著兩個柄
時,有可能切換附著的階,使得
,即此流形微分同胚於形式為
的流形。
的邊界與沿有框架球f的邊界
是微分同胚。這是割補、柄與莫爾斯函數之間的主要聯繫。
- 因此,若且唯若可通過對
中的有框架連結(framed link)集進行割補,得到m維流形M時,M是m+1維流形W的邊界。舉例,由從René Thom關於配邊的研究,我們知道每個3-流形都是某4-流形的邊界(相似地,有向、有旋的3-流形分別是有向、有旋的4-流形的邊界)。於是,3-流形都可從3-球中有框架連結的割補得到。在有向情形,常規做法是將這種有框架連結簡化為圓的不交並的有框架嵌入。
- h-配邊定理通過簡化光滑流形的柄分解證明。
- ^ S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math. , 84 (1962) pp. 387–399