由圓和平行光線生成的反射焦散線。在一邊,每個點都包含在3條射線中;另一邊,每個點都包含在1條射線中。
微分幾何中,焦散線(caustic)指由流形反射或折射的射線的包絡線。這與幾何光學中的焦散現象有關。射線的來源可以是點(輻射點,radiant)或來自無窮遠處某點的平行射線,這時要指定射線的方向向量。
一般來說,應用於辛幾何與奇點理論中的焦散線指拉格朗日映射
的臨界值集,其中
是拉格朗日子流形L到辛流形M的拉格朗日浸入,
是辛流形M的拉格朗日纖維化。焦散是拉格朗日纖維化基空間B的子集。[1]
射線經過非平面折射後,在許多光線交叉的地方會形成焦散線。
集中的光線(如陽光)會灼傷人。「焦散」(caustic)一詞來自希臘語καυστός「燒焦」,途經拉丁語causticus「燃燒」。
光線照射在酒杯上時,就會出現焦散現象。玻璃杯會投射出陰影,也會產生彎曲的亮區。在理想情況下(包括平行光射入時)會產生腎形光斑。[2][3]光線穿過波浪照射在水體上時,通常會形成波紋狀的焦散線。
彩虹是人們熟悉的另一種焦散現象。[4][5]雨滴對光的散射會使不同波長的光折射成半徑不同的弧線,從而產生彩虹。
回光線[編輯]
回光線(catacaustic)是反射的情形。
對於點光源,它是輻射點正交(orthotomic)的漸屈線。
平面平行光源情況:假設方向向量是
,鏡面曲線參數化為
。某點的法向量為
;方向向量的反射為(法向量需要特殊歸一化處理)
![{\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d45a8c6ec99b02de3a14c06696a40a6ac5a3096)
將找到的反射向量的分量視作切線
![{\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164d224d58160f28898a1dd736d6b0cb979b3ea3)
使用最簡單的包絡線形式
![{\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907b2736e33fa4d18c479c162ac795fee600b19a)
![{\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93507fdd807c5e50a1f2e37a587a9fcddf248722)
這可能不美觀,但
給出了
中的線性系統,因此獲得回光線的參數是很簡單的,用克萊姆法則就可以。
令方向向量為(0,1),鏡面為
則
![{\displaystyle b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55bc77dec8088791b5c1ed51e634cc1b431fd0)
![{\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b1138c8a51dc1533a8843800c78fec8096a34d)
![{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d674db36667e36bdb37d27001278286c695bfde3)
且
有解
;即光線平行於拋物鏡面的軸線進入,會通過焦點反射。
參考文獻[編輯]
外部連結[編輯]