皮亞諾存在性定理

在數學中, 特別是在常微分方程的研究中，皮亞諾存在定理（又稱為皮亞諾定理、柯西-皮亞諾定理）是以數學家朱塞佩·皮亞諾的名字命名的一個定理。這個定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保證了微分方程在一定的初始條件下的解的存在性。

歷史

這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表，但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。

定理

設 D 為R × R 的一個開子集，以及一個連續函數：

f\colon D\to \mathbb {R}

皮亞諾存在定理：定義在 D 上的一個一階線性常微分方程（其中 $(x_{0},y_{0})\in D$ ）

f\left(x,y(x)\right)=y'(x)

y\left(x_{0}\right)=y_{0}

必然有局部解。也就是說，必定存在一個關於 $x_{0}$ 的鄰域 I，以及一個函數：

z\colon I\to \mathbb {R}

滿足

\forall x\in I,\ \ f\left(x,z(x)\right)=z'(x)

。

相關定理

皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理，皮卡-林德洛夫定理對函數 $f$ 的要求更嚴格，但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函數 $f$ 局部地滿足利普希茨條件，也就是說在任意一點 x 的附近，都有一個常數 $K_{x}$ 和一個鄰域 $I_{x}$ ，使得對於 $I_{x}$ 中任意的 $a$ 、 $b$ 兩點，都有：

|f(a)-f(b)|\leq K_{x}|a-b|

。

這個要求比單純的連續性要高，但是得出的結論也更強了：皮卡-林德洛夫定理說明，在滿足上述要求時，微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。

例子

設 $T>0$ 為一個常數，考慮函數

h'=\left\vert h\right\vert ^{\frac {1}{2}},\ \ \ y(T)=0

，其定義域設為

\left[0,T\right]

。

根據皮亞諾存在定理，由於函數 $f:x\to \left\vert x\right\vert ^{\frac {1}{2}}$ 在 $\left[0,T\right]$ 上連續，微分方程有解。但由於 $f$ 在0處的導數為正無窮， $f$ 在 $\left[0,1\right]$ 上不滿足利普希茨條件，於是解不一定是唯一的。事實上：對於任意的 $0<t_{0}<T$ ，定義為：當 $t\leq t_{0}$ 時 $h(t)=(t-t_{0})^{2}/4$ ，當 $t_{0}\leq t\leq T$ 時 $y=0$ 的函數 $h$ 都是微分方程的解，也就是說解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型：假設有一個漏水的容器，其水面高度（函數 $h$ ）和時間的關係由以上的微分方程定義的話，那麼由於事實上可以觀測到漏水的過程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態（ $y(T)=0$ ）的話，是無法倒過來推測原來的水位有多高的（也就是說沒有唯一解）。

參考來源

G. Peano, Sull』integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
G. Peano, Demonstration de l』intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.