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亥姆霍茲方程

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平面內的兩個輻射源,用數學函數 ƒ 給出,藍色區域函數值為零。
所產生的場 A實部A 為非齊次解亥姆霍茲方程 的解。

亥姆霍茲方程(英語:Helmholtz equation)以德國物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲的名字命名,表示拉普拉斯算子的特徵值問題,其基本形式如下:

其中 拉普拉斯算子波數特徵函數

在光學中,亥姆霍茲方程是一個描述電磁波橢圓偏微分方程;在量子力學中,亥姆霍茲方程應用於描述波函數的傳播和干涉。

動機和用途

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亥姆霍茲方程通常出現在涉及同時存在空間和時間依賴的偏微分方程的物理問題的研究中,例如波動方程薛丁格方程

考慮波動方程:

假定 可分離變量,可得:

將此形式代入波動方程,化簡得到下列方程:

注意左邊的表達式只取決於 r,而右邊的表達式只取決於 t。其結果是,若且唯若等式兩邊都等於恆定值時,該方程在一般情況下成立。從這一觀察中,可以得到兩個方程:

在不失一般性的情況下,選擇 −k2 這個表達式作為這個常值。(使用任何常數 k 作為分離常數都同樣有效;選擇 −k2 只是為了求解方便。)

調整第一個方程,可以得到亥姆霍茲方程:

同樣,在用進行代換之後,第二個方程成為

其中 k 是波數,ω 是角頻率。注意到現在有了空間變量的亥姆霍茲方程和一個二階時間常微分方程。時間解是一個正弦餘弦函數的線性組合,而空間解的形式依賴於具體問題的邊界條件。經常可以使用拉普拉斯變換或者傅立葉變換這樣的積分變換將雙曲的偏微分方程轉化為亥姆霍茲方程的形式。

因為它和波動方程的關係,亥姆霍茲方程在物理學中電磁輻射地震學聲學等相關研究領域裡有著廣泛應用。

分離變量法求解

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一維亥姆霍茲方程

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假設為方程的解,代入上式可得特徵方程:

解得,則方程的通解為:

三維亥姆霍茲方程

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球坐標中的拉普拉斯算子可以表示為:

則可以得到:

, 則分離後的角向方程和徑向方程分別為:

上式的解為球諧函數,下式可轉化為球貝塞爾方程進行求解,則三維亥姆霍茲的通解可表示為:

考慮物理意義,當時,存在奇點,因此可得,即:

上式也可表達為平面波的形式。

參閱

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參考文獻

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  • Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. 2002: ch. 19. ISBN 0-521-89067-5. 

外部連結

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