卢津定理

卢津（Лузин）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。

定理敘述

一維形式

設 $f:[a,b]\to \mathbb {C}$ 是可測函數，對任何 $\epsilon >0$ ，都存在緊緻集 $E\subset [a,b]$ ，使得 $\lambda ([a,b]\setminus E)<\epsilon$ ，而且f限制到E上是連續函數。此處 $\lambda$ 是勒貝格測度。

證明

因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間 $\mathrm {L} ^{1}([a,b])$ 中稠密，存在連續函數序列 $g_{i}$ 依L¹範數收斂至f，即 $\int _{a}^{b}\left|g_{i}-f\right|\to 0$ 。故此有子序列 $g_{i_{k}}$ 幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外， $g_{i_{k}}$ 一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。

多維形式

設 $\mu$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的正則博雷爾測度， $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是 $\mu$ 可測函數。X是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的 $\mu$ 可測集，而且 $\mu (X)<\infty$ ，那麼對任意 $\epsilon >0$ ，X中存在緊緻集K，使得 $\mu (X\backslash K)<\epsilon$ ，而且f限制到K上是連續函數。

證明

首先，對每個正整數i，構造緊緻集 $K_{i}$ 和在其上的連續函數 $g_{i}$ ，使得

\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}

且在 $K_{i}$ 上有

\left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i

構造方法如下：

將 $\mathbb {R} ^{m}$ 分成兩兩不交的博雷爾集 $(Y_{ij})_{j=1}^{\infty }$ ，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像 $f^{-1}(Y_{ij})$ 是可測集。令 $X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})$ ，則 $X_{ij}$ 將X分成兩兩不交的可測集。