利萨茹曲线

利萨茹图形在示波器上

三维利萨茹图形

数学上，利萨茹(Lissajous)曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇(Bowditch)曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

$\begin{cases} x( \theta )=a\sin(\theta)\\ y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi) \end{cases}$

其中$0\le \phi \le \frac {\pi}{2}$，$n\ge 1\,$。

$n$称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则$n=\frac{q}{p}\,$，参数方程可以写作:

$\begin{cases} x( \theta )=a\sin(p\theta)\\ y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi) \\ 0\le \theta \le 2\pi \end{cases}$，

其中$0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}$。

性质

• 若$n$为无理数，曲线在长方形$[-a,a]\times[-b,b]$中稠密。
• 若$n$为有理数，
  • 曲线是$2q$次代数曲线若$\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2p} \right]$对奇数$p$，或$\phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right)$对偶数$p$。
  • 曲线是$q$次代数曲线的一部份若$\phi=0\,$对奇数$p$，或 $\phi=\frac{\pi}{2p}$对偶数$p$。

• 若$n$为偶数而$\phi = \frac{\pi}{2}$，或若$n$为奇数而$\phi =0\,$，则曲线是第$n$个切比雪夫多项式$T_n$的曲线的一部份。

特别情况

• 若$a=b$，$n=1$，则曲线是椭圆。
  • 若$\phi=\frac{\pi}{2}$，则这椭圆其实是圆。
  • 若$\phi=0\,$，则这椭圆其实是线段。
• 若$a=b$，$n=q=2$ (所以$p=1$)，则曲线是besace。
  • 若$\phi=\frac{\pi}{2}$，则这besace是拋物线一部份。
  • 若$\phi=0\,$，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中$\phi = 0$，$a = b$, $p$是奇数，$q$是偶数，$|p-q|= 1$。

• 

  p = 1, q = 2

• 

  p = 3, q = 2

• 

  p = 3, q = 4

• 

  p = 5, q = 4

• 

  p = 5, q = 6

• 

  p = 9, q = 8

外部連結

• 利萨茹曲线的 Java 3D示範