利萨茹曲线

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利萨茹图形在示波器上

三维利萨茹图形

数学上，利萨茹(Lissajous)曲线（又称利萨茹图形或鲍迪奇(Bowditch)曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

[编辑] 数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

$\begin{cases} x( \theta )=a\sin(\theta)\\ y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi) \end{cases}$

其中 $0\le \phi \le \frac {\pi}{2}$ ， $n\ge 1\,$ 。

$n$ 称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则 $n=\frac{p}{q}\,$ ，参数方程可以写作:

$\begin{cases} x( \theta )=a\sin(p\theta)\\ y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi) \\ 0\le \theta \le 2\pi \end{cases}$ ，

其中 $0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}$ 。

若 $n$ 为无理数，曲线在长方形 $[-a,a]\times[-b,b]$ 中稠密。
若n为有理数，
- 曲线是 $2 q$ 次代数曲线若 $\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2p} \right]$ 对奇数 $p$ ，或 $\phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right)$ 对偶数 $p$ 。
- 曲线是 $q$ 次代数曲线的一部份若 $\phi=0\,$ 对奇数 $p$ ，或 $\phi=\frac{\pi}{2p}$ 对偶数 $p$ 。

若 $n$ 为偶数而 $\phi = \frac{\pi}{2}$ ，或若 $n$ 为奇数而 $\phi =0\,$ ，则曲线是第 $n$ 个切比雪夫多项式 $T n$ 的曲线的一部份。

若a = b，n = 1，则曲线是椭圆。
- 若 $\phi=\frac{\pi}{2}$ ，则这椭圆其实是圆。
- 若 $\phi=0\,$ ，则这椭圆其实是线段。
若a = b，n = q = 2 (所以p = 1)，则曲线是besace。
- 若 $\phi=\frac{\pi}{2}$ ，则这besace是拋物线一部份。
- 若 $\phi=0\,$ ，则这besace是一个热罗诺双纽线。