利萨茹曲线

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利萨茹图形在示波器上
三维利萨茹图形

数学上,利萨茹(Lissajous)曲线(又称利萨茹图形李萨如图形鲍迪奇(Bowditch)曲线)是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义[编辑]

利萨茹曲线由以下参数方程定义:

\begin{cases}
x( \theta )=a\sin(\theta)\\
y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)
\end{cases}

其中 0\le \phi \le \frac {\pi}{2} n\ge 1\,

n称为曲线的参数,是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数,则n=\frac{q}{p}\,,参数方程可以写作:

\begin{cases}
x( \theta )=a\sin(p\theta)\\
y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi) \\
0\le \theta \le 2\pi
\end{cases}

其中 0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}

性质[编辑]

  • n为无理数,曲线在长方形[-a,a]\times[-b,b]稠密
  • n为有理数,
    • 曲线是2q代数曲线\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2p} \right]对奇数p,或\phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right)对偶数p
    • 曲线是q代数曲线的一部份若\phi=0\,对奇数p,或 \phi=\frac{\pi}{2p}对偶数p

特别情况[编辑]

  • a=bn=1,则曲线是椭圆
    • \phi=\frac{\pi}{2},则这椭圆其实是
    • \phi=0\,,则这椭圆其实是线段。
  • a=bn=q=2 (所以p=1),则曲线是besace

以下是利萨茹曲线的例子,其中\phi = 0a = b, p是奇数,q是偶数,|p-q|= 1

在電子學上的應用[编辑]

  藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號頻率比與相位差。

外部連結[编辑]