奇异值

数学中，特别是泛函分析中，作用于希尔伯特空间X、Y之间的紧算子$T:X\rightarrow Y$的奇异值是自伴算子$T^{*}T$（$T^{*}$表示T的伴随）的非负特征值的平方根。

奇异值是非负实数，一般按递减顺序排列（$\sigma _{1}(T),\ \sigma _{2}(T),\dots$）。最大的奇异值$\sigma _{1}(T)$等于T的算子范数（见极小-极大定理）。

2维实值错切矩阵M的奇异值分解可视化。首先，可见蓝色的单位圆盘与2个标准基向量；然后，可见M的作用：将圆盘扭曲为椭圆。SVD将M分解为3个简单变换：旋转$V^{*}$、沿旋转轴的缩放Σ及第二次旋转 U。Σ是对角矩阵（本例中是方阵），对角线上包含M的奇异值，代表椭圆半轴长度$\sigma _{1},\ \sigma _{2}$。

作用于欧氏空间$\mathbb {R} ^{n}$的T的奇异值有简单的几何解释：单位n球在T变换下的像是椭球，其半轴长度是T的奇异值（图中提供了$\mathbb {R} ^{2}$的例子）。

奇异值是正规矩阵A的特征值的绝对值，由谱定理可得A的单位对角化：$A=U\Lambda U^{*}$。因此有${\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}$。

研究的希尔伯特空间算子的大多数范数都是用奇异值定义的。例如，樊𰋀-k-范数是前k个奇异值的和，迹范数是所有奇异值的和，沙滕范数是奇异值的p次幂之和的p次根。注意每种范数都只定义在一类特殊的算子上，因此奇异值有助于算子的分类。

有限维情形，矩阵总可以分解为$\mathbf {U\Sigma V^{*}}$，其中$\mathbf {U}$、$\mathbf {V^{*}}$是酉矩阵，$\mathbf {\Sigma }$是矩形对角矩阵，奇异值在对角线上。这就是奇异值分解。

基本性质

对$A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$、$i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}$。

应用特征值的最小-最大定理。这里$U:\dim(U)=i$是$\mathbb {C} ^{n}$的i维子空间。

${\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}$

矩阵转置和共轭不会改变奇异值。

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).$

对任意酉矩阵$U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).$

与特征值的关系：

$\sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).$

与迹的关系：

$\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A$.

若$A^{\top }A$满秩，则奇异值的积是${\sqrt {\det A^{\top }A}}$。

若$AA^{\top }$满秩，则奇异值的积是${\sqrt {\det AA^{\top }}}$。

若A满秩，则奇异值的积是$|\det A|$。

关于奇异值的不等式

另见

子矩阵的奇异值

对$A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$，

1. 令B表示删除了某一行或某一列的A。则
   $$\sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
2. 令B表示删除了某一行和某一列的A。则
   $$\sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
3. 令B表示A的$(m-k)\times (n-l)$子矩阵，则
   $$\sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$

A + B的奇异值

对$A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

1. $$\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}$$
2. $$\sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}$$

AB的奇异值

对$A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

1. $${\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}$$
2. $$\sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

对$A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

$$2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

奇异值与特征值

对$A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$.

1. 见
   $$\lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$
2. 假设$\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$，则对$k=1,2,\ldots ,n$：
   1. 外尔定理
      $$\prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).$$
   2. 对$p>0$。
      $$\sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).$$

历史

奇异值这一概念由埃哈德·施密特（1907）提出，当时称奇异值为“特征值”。“奇异值”的名称由史密斯于1937年首次使用。1957年，Allahverdiev证明了第n个奇异值的如下特征：

$\sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{的秩}}<n\,{\big \}}.$

这种表述使奇异值概念可以推广到巴拿赫空间的算子。 注意还有更一般的s-数（s-number）概念，也包括盖尔范德和柯尔莫哥洛夫宽。

另见

• 条件数
• 庞加莱分离定理
• 舒尔–霍恩定理
• 奇异值分解