等度连续

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数学分析中,一个函数集合被称为等度连续的,如果其中的函数都是连续的并且当自变量变动时,它们的取值都在“相同程度”的范围中浮动。一般来说,集合里的函数是有限个或可数无限个。

等度连续最早出现在阿尔泽拉-阿斯科利定理[1][2]。阿尔泽拉—阿斯科利定理说明,考虑某个豪斯多夫空间X,以及建立在它上面的连续函数的集合C(X)的一个子集,这个子集是紧集当且仅当它是闭集。作为结论,C(X) 里的一个函数序列一致收敛当且仅当它是等度连续的,并且逐点收敛[2]

定义[编辑]

(f_i)_{i \in I} 为从拓扑空间 E 射到度量空间 F 的一组函数。(f_i)_{i \in I} 是等度连续的当且仅当

\forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists V\in\mathcal{V}(x), \forall i \in I, \forall y \in V, d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon

如果拓扑空间 E 上定义了一个距离,那么一组函数 (f_i)_{i \in I} 是一致等度连续的当且仅当

\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall i \in I, \forall x \in E, \forall y \in B(x,\eta), d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon

作为对比,命题:“一组函数 (f_i)_{i \in I} 全都是连续的”的数学化形式如下:

\forall i \in I, \forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists V\in\mathcal{V}(x), \forall y \in V, d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon

可以看出,对于一般的连续性,邻域 V 的选择是随 i 而变的,也就是说对每个函数,浮动的形式都不一样。而对于等度连续,邻域 V 的选择不随 i 而变,只取决于 x\varepsilon。而在一致等度连续中,V 的选择只取决于 \varepsilon 了。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
  2. ^ 2.0 2.1 Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74 .