闭包算子

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数学中,给定偏序集合 (P, ≤),在 P 上的闭包算子函数 C : PP 带有如下性质:

  • xC(x) 对于所有 x,就是说 C扩展性的。
  • 如果 xy,则 C(x) ≤ C(y),就是 C单调递增的。
  • C(C(x)) = C(x) 对于所有的 x,就是说 C幂等函数

例子[编辑]

名字来自形成拓扑空间的子集的闭包有这些性质,如果所有子集的集合按包含 ⊆ 来排序。(注意拓扑闭包算子不由这些性质来刻画;完全特征刻画请参见库拉托夫斯基闭包公理。)

另一个典型闭包算子是: 选取 G 和任何 G 的子集 X,设 C(X) 是 X 生成的子群,就是说包含 XG 的最小子群。则 C 是在 G 的子集的集合上闭包算子,它按包含 ⊆ 排序。类似的例子有向量空间的给定子集所生成的子空间的给定子集生成的子域,甚至泛代数意义上任何代数的给定子集生成的子代数。

实数到实数的上取整函数,它对所有实数 x 指派不小于 x 的最小整数,也是闭包算子。

闭合元素和性质[编辑]

给定闭包算子 CP 的“闭合元素”是一个元素 x,它是 C不动点,或者等价的说,它在 C 的像中。如果 a 是闭合的并且 x 是任意的,则有着 xa 当且仅当 C(x) ≤ a。所以 C(x) 是大于或等于 x 的最小闭合元素。我们看到 C 被唯一的确定自闭合元素的集合。

所有伽罗瓦连接都引发一个闭包算子(其条目中有解释)。事实上,所有闭包算子都以这种方式引发自伽罗瓦连接。伽罗瓦连接不唯一的确定自闭包算子。引发闭包算子 C 的伽罗瓦连接可以描述如下: 如果 A 是关于 C 的闭合元素的集合,则 C : PA 是在 PA 之间的伽罗瓦连接的下伴随,带有上伴随为把 A 嵌入到 P 中。进一步的说,所有把某个子集嵌入 P 的下伴随都是闭包算子。“闭包算子是嵌入的下伴随”。但是注意不是所有嵌入都有下伴随。

任何偏序集合 P 都可以被看作范畴,带有从 xy 的一个单一态射当且仅当 xy。在偏序集合 P 上的闭包算子就是在范畴 P 上的 monad。等价的说,闭包算子可以被单做有额外的幂等扩展性质的 Posets 范畴的 endofunctor。

如果 P完全格,则 P 的子集 A 是对某个 P 上闭包算子的闭合元素的集合,当且仅当 A 是在 P 上的 Moore家族,就是说 P 的最大元素在 A 中,并且任何 A 中非空子集的下确界(交运算)也在 A 中。任何这样的集合 A 自身是带有继承自 P 的次序的完全格(但是上确界(并运算)可能不同于 P 的)。在 P 上的闭包算子自身形成一个完全格;在闭包算子上的次序定义为 C1C2 当且仅当 C1(x) ≤ C2(x) 对于所有 P 中的 x

推广[编辑]

如上面提及的,闭包可以被看作来自伽罗瓦连接。如果把伽罗瓦连接推广为伴随函子,闭包的对应是 monad

引用[编辑]

  • Brown D.J. and Suszko R. (1973). Abstract Logics, Dissertationes Mathematicae, 102, 9-42.
  • Castellini G. (2003) Categorical closure operators, Birkauser.
  • Gerla G. (2000) Fuzzy Logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Ac. Publishers.
  • Lloyd J.W. (1987) Foundations of Logic Programming, Springer-Verlag, Berlin.
  • Tarski A. (1956). Logic, semantics and metamathematics, Clarendon Press, Oxford.
  • Ward M. (1942). The closure operators of a lattice, Annals of Mathematics, 43, 191-196.

参见[编辑]