德林费尔德模

在数学领域，德林费尔德模或椭圆模是一种特别的模，布于有限域上的代数曲线的坐标环上。粗略地说，德林费尔德模是复椭圆曲线的复乘法理论之函数域版本。

俄文单词 штука（英语拼音：shtuka 或 chtouca，源于德文的 Stück，意指物件或东西），又称F-层，是德林费尔德模的一种延伸，由曲线上的向量丛和其它关乎弗罗贝尼乌斯映射的资料组成。

弗拉基米尔·德林费尔德在1973年发明了德林费尔德模，随后推广到 штука，以证明函数域上的 $\mathrm {GL} (2)$ 郎兰兹猜想。洛朗·拉福格借由研究 n秩 штука的模叠与迹公式，在2002年证出 $\mathrm {GL} (n)$ 的情形。

德林费尔德模

加性多项式环

设 $L$ 为特征 $p>0$ 的域。定义其上的非交换多项式环 $L\{\tau \}$

a₀ + a₁τ + a₂τ² + ...

乘法由下述条件确定

$\tau a=a^{p}\tau$

元素 $\tau$ 可设想为弗罗贝尼乌斯映射。事实上，$L$ 是左 $L\{\tau \}$-模，其中 $L$ 以乘法作用而 $\tau$ 以 $a\mapsto a^{p}$ 映射。环 $L\{\tau \}$ 也可以看作是如下多项式的集合

$a_{0}X^{1}+a_{1}X^{p}+a_{2}X^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \in L[X]$

这类多项式满足 $f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]$，故称加性多项式；此环的乘法由多项式的合成给出，而非乘法，故非交换。

形式定义

今设 $A$ 为交换环，L 上的 德林费尔德 A-模定义为环同态 $\psi :A\to L\{\tau \}$，使得 $\psi (A)$ 不包含于 $L$；此条件意在排除一些平凡例子。环 $A$ 通常取作某条有限域上的仿射曲线的坐标环。

$L\{\tau \}$ 可视为加法群 $(L,+)$ 的自同态，而德林费尔德 A-模可视为 $A$ 在 $(L,+)$ 上的作用。

例子

• 置 $A:=\mathbb {F} _{p}[T]$，对应到亏格为一的仿射代数曲线。德林费尔德模 $\psi :A\to L\{\tau \}$ 仅依赖于像 $\psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L$。此时德林费尔德模可等同于 $L\{\tau \}\setminus L$。对于亏格更高的曲线，德林费尔德模会更复杂。
• 承上，Carlitz 模是由 $\psi (T)=T+\tau$，$L$ 为含 $\mathbb {F} _{p}$ 的完备代数封闭域给出的德林费尔德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展开研究，详见Goss 的著作第三章 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 。

штука

设 $X$ 是有限域 $\mathbb {F} _{p}$ 上的代数曲线。对概形或叠 $U$，其上的秩 r （右）штука 由下列资料定义：

• $U\times X$ 上的秩 r 局部自由层 $E,E'$ 及单射

$E\rightarrow E'\leftarrow (\mathrm {Fr} ^{*}\times 1)^{*}E$

其余核的支撑集包括于某态射 $U\to X$ 的图（称为该 штука 的零点与极点，记为 $0$ 与 $\infty$），且在支撑集上是秩 $1$ 局部自由层。在此 $\mathrm {Fr}$ 表 $U$ 上的弗罗贝尼乌斯态射。

左 штука 的定义类似，但态射的方向反转；若极点与零点集互斥，则实际上无分左右。

粗略而言，考虑不同的 $U$，可得代数叠 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 及 $\mathrm {Sht} ^{r}\times X$ 上的“万有 штука”，并有相对维度 $2$ 的平滑态射 $(\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X$。注意到当 $r>1$ 时，叠 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 并非有限型的。

德林费尔德模可在某种意义下视作特别的 штука（自定义观之，这绝非明显），详见 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

应用

简言之，函数域上的郎兰兹猜想是关于 $\mathrm {GL} (n)$ 的尖点自守表示及某个伽罗瓦群的表示之间的对应。德林费尔德利用 штука 证明$n=2$的情形。此猜想的难处在于构造满足特定性质的伽罗瓦表示，德林费尔德的高处在于从某个秩 $2$ штука 的模空间的 $\ell$-进上同调入手，找出相应的伽罗瓦表示。

德林费尔德认为此法可延伸至 $n\geq 2$ 的情形。拉福格最后克服了其中的大量技术困难，完成证明。

文献

德林费尔德模

• V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
• D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
• Drinfel'd module （页面存档备份，存于互联网档案馆） in the Springer encyclopaedia of mathematics
• G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука

• Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
• Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
• D. Goss, What is a shtuka? （页面存档备份，存于互联网档案馆） Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎兰兹猜想方面的工作

• Lafforgue, L. Chtoucas de Drinfeld et applications. （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
• Lafforgue, Laurent Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
• Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue Archive.is的存档，存档日期2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
• G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873