Wess-Zumino-Witten模型

理论物理与数学中， 威斯-朱米诺-维腾模型（Wess-Zumino-Novikov-Witten model，WZW），乃一简单之 共形场论，其解可以用仿射李代数表达。其名来自朱利斯·外斯、布鲁诺·朱米诺、谢尔盖·彼得罗维奇·诺维科夫与爱德华·威滕。

作用

设G为紧致单连通李群，设g为其李代数。设γ为黎曼球面$S^{2}$（复平面之一点紧致化）上一G-值场

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定义之非线性 sigma 模型，其作用为

$S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )$；

其中首项为量子场论中常见之动量项，重复指标相加，度量为欧几里得度量， ${\mathcal {K}}$ 为g上之Killing 二次式，而$\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ 为 偏导数。

S^WZ 项人称 Wess-Zumino 项，其定义为

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)$

其中 [,] 为交换子，$\epsilon ^{ijk}$ 为完全反对称张量，i=1,2,3，$y^{i}$为积分座标，取值于单位球 $B^{3}$。 在此积分中，场γ 被延拓至单位球之内部——此所以可能，是由于任何紧致单连通李群之第二同伦群$\pi _{2}(G)$俱为零（γ已于球面上定义）。

拉回

注意：若 $e_{a}$ 为李代数g之基向量，则${\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])$ 为g 之 结构常数。结构常数是反对称的，因而定义了一G 上一个三次微分形式。故上述积分实为球$B^{3}$上之三次调和式的拉回。记此三次式为 c、其拉回为 $\gamma ^{*}$，则我们有

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{B^{3}}\gamma ^{*}c$

自此我们可用拓扑方法分析 WZ-项。

拓扑障碍

γ 有多种延拓至球$B^{3}K$之内部；若要求物理现象不依赖于特定之延拓，则常数k需符合以下“量子条件”：

• 取γ 到球内部之任何两种延拓。是为平三维区域至李群G之两支影射。在其边界 $S^{2}$黏起此两个三维球，则成一三维球面$S^{3}$；其中每一三维半球面来自一$B^{3}$。 γ 之两种延拓则成为一影射： $S^{3}\rightarrow G$。然而，任何紧致单连通李群G之同伦群

$\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$ 。故

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')+n$

其中 γ 与 γ' 表示两种延拓， n为一整数——黏合后影射之卷绕数。两种延拓会带来相同的物理系统，若

$\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma )\right)=\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')\right)$

是故，耦合常数k必须为整数。当G是半单李群，或不连通紧致群， 则由每一连通部所给之一整数构成此阶（level）。

此拓扑障碍亦可以相应之仿射李代数之表示论体现。 当每一阶为一整数，则存在该仿射李代数之酉最高权表示，而其最高权为 dominant integral。此等表示是可积表示。

我们亦常遇相应于一非紧致单李群－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。胡安·马尔达西那与Hirosi Ooguri以此描述三维反德西特空间上之弦理论。此时 π₃(SL(2,R))=0，故不存在拓扑障碍，而其阶亦不必为整数。

推广

上述各 WZW 模型俱定义于黎曼球面上。我们亦可定义一般紧致黎曼曲面上之场γ。

参见

• 陈-西蒙斯理论
• 纽结理论

参考

• J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
• E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
• V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras