勒让德猜想

未解决的数学问题：在

n^{2}

和

(n+1)^{2}

之间，是否总有质数？

勒让德猜想是阿德里安-马里·勒让德提出对整数的猜想，其内容是在平方数 $n^{2}$ 和 $(n+1)^{2}$ 之间，至少有一个质数。此猜想是兰道问题（英语：Landau's problems）（1912年）中有关质数的一个问题。截至2023年^[update]为止，还没有人可以证明此猜想成立，也没有人找到此猜想的反证。

质数间隙[编辑]

若勒让德猜想为真，那在大O符号的意义下，质数 $p$ 及相邻质数的最大间隙就会是 $O({\sqrt {p}})$ 。^[a]

这猜想是一类与质数间隙相关的猜想和结果的其中一员。其他属于这一类的猜想和结果包括了已经得证并认为在 $n$ 和 $2n$ 必存在一个质数的伯特兰-切比雪夫定理、尚未得证并认为在 $n^{2}$ 、 $n(n+1)$ 及 $(n+1)^{2}$ 等之间存在质数的Oppermann猜想、尚未得证并与两相邻质数间是否存在质数相关的Andrica猜想和布罗卡猜想，以及尚未得证并认为质数间隙总是远小于勒让德猜想且和 $(\log p)^{2}$ 成比例的克拉梅尔猜想等等。

在克拉梅尔猜想成立的状况下，勒让德猜想对任何足够大的 $n$ 都成立。另外，哈拉尔德·克拉梅尔还证明了一个较弱的结果说，从黎曼猜想可推出最大质数间隙的上界为 $O({\sqrt {p}}\log p)$ 。^[1]

根据质数定理，介于 $n^{2}$ 和 $(n+1)^{2}$ 之间的质数的数量的期望值大约为 $n/\ln n$ ；此外，已知对几乎所有的此类区间而言，其实际的质数个数（A014085）与这期望值呈现非病态关系。^[2]由于对于较大的 $n$ 而言，这数字也会很大之故，这提供了勒让德猜想成立的证据。^[3]

另外已知质数定理可无条件地^[4]或在黎曼猜想成立的状况下^[5]，给出对短区间内质数个数的精确估计；然而已证明可行的区间大小大于两个完全平方数构成的区间，因此就勒让德猜想而言依旧太大。

部分结果[编辑]

从英汉（英语：Albert Ingham）对质数间隙的结果可得出，对于足够大的 $n$ 而言，在完全立方数 $n^{3}$ 及 $(n+1)^{3}$ 之间总有一个质数。^[6]

Baker、Harman 和Pintz（英语：Janos Pintz）证明了说对于所有大的 $x$ 而言， $[x-x^{21/40},\,x]$ 这区间内总有一个质数。^[7]

利用最大质数间隙表，可确认说勒让德猜想至少对大到 $n^{2}=4\cdot 10^{18}$ 的数都成立，也就是说勒让得猜想对大到 $n=2\cdot 10^{9}$ 的数都成立。^[8]

参见[编辑]

注解[编辑]

^ 这是从两个完全平方数的差会是其平方根的事实推导出的。

参考资料[编辑]

^ Stewart, Ian, Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems, Basic Books: 164, 2013, ISBN 9780465022403 .
^ Bazzanella, Danilo, Primes between consecutive squares (PDF), Archiv der Mathematik, 2000, 75 (1): 29–34, MR 1764888, S2CID 16332859, doi:10.1007/s000130050469
^ Francis, Richard L., Between consecutive squares, Missouri Journal of Mathematical Sciences (University of Central Missouri, Department of Mathematics and Computer Science), February 2004, 16 (1): 51–57, doi:10.35834/2004/1601051  ; see p. 52, "It appears doubtful that this super-abundance of primes can be clustered in such a way so as to avoid appearing at least once between consecutive squares."
^ Heath-Brown, D. R., The number of primes in a short interval (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1988, 1988 (389): 22–63, MR 0953665, S2CID 118979018, doi:10.1515/crll.1988.389.22
^ Selberg, Atle, On the normal density of primes in small intervals, and the difference between consecutive primes, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 1943, 47 (6): 87–105, MR 0012624
^ A060199
^ Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J., The difference between consecutive primes, II (PDF), Proceedings of the London Mathematical Society, 2001, 83 (3): 532–562, S2CID 8964027, doi:10.1112/plms/83.3.532
^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio, Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ (PDF), Mathematics of Computation, 2014, 83 (288): 2033–2060, MR 3194140, doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1  .

外部链接[编辑]

埃里克·韦斯坦因. Legendre's conjecture. MathWorld.

[1] 这是从两个完全平方数的差会是其平方根的事实推导出的。

[2] Stewart, Ian, Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems, Basic Books: 164, 2013, ISBN 9780465022403 .

[3] Bazzanella, Danilo, Primes between consecutive squares (PDF), Archiv der Mathematik, 2000, 75 (1): 29–34, MR 1764888, S2CID 16332859, doi:10.1007/s000130050469

[4] Francis, Richard L., Between consecutive squares, Missouri Journal of Mathematical Sciences (University of Central Missouri, Department of Mathematics and Computer Science), February 2004, 16 (1): 51–57, doi:10.35834/2004/1601051  ; see p. 52, "It appears doubtful that this super-abundance of primes can be clustered in such a way so as to avoid appearing at least once between consecutive squares."

[5] Heath-Brown, D. R., The number of primes in a short interval (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1988, 1988 (389): 22–63, MR 0953665, S2CID 118979018, doi:10.1515/crll.1988.389.22

[6] Selberg, Atle, On the normal density of primes in small intervals, and the difference between consecutive primes, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 1943, 47 (6): 87–105, MR 0012624

[7] A060199

[baker-8] Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J., The difference between consecutive primes, II (PDF), Proceedings of the London Mathematical Society, 2001, 83 (3): 532–562, S2CID 8964027, doi:10.1112/plms/83.3.532

[9] Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio, Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ (PDF), Mathematics of Computation, 2014, 83 (288): 2033–2060, MR 3194140, doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1  .

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