維塔利覆蓋引理

數學上，維塔利(Vitali)覆蓋引理是一個組合幾何的結果，用於實分析中。這引理說給出一族球，可以從中找到一族互不相交的球，將這些球半徑增加一定倍後，就能把其他的球都覆蓋住。

引理敘述[編輯]

有限多球[編輯]

在一個度量空間中有一族閉球 $B_{1},\ldots ,B_{n}$ ，則這一族球中存在互不相交的球 $B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}$ ，適合條件

B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}

$3B_{i_{k}}$ 表示和 $B_{i_{k}}$ 有相同中心，而半徑是 $B_{i_{k}}$ 的三倍的球。

無限多球[編輯]

在一個度量空間中有一族半徑為正數的閉球 $\{B_{i}:i\in I\}$ ，這族球的半徑有有限的上界，即

\sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty

則這一族球中存在互不相交的球 $\{B_{i}:i\in I'\}$ ， $I'\subset I$ ，適合條件

\bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}

$5B_{i}$ 表示和 $B_{i}$ 有相同中心，而半徑是 $B_{i}$ 的五倍的球。

證明[編輯]

有限情形[編輯]

取這一族球中半徑最大的一個球 $B_{i_{1}}$ ，然後除去所有與 $B_{i_{1}}$ 相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為 $B_{i_{2}}$ ，如此類推。那麼任何其他的球必定因為和某個 $B_{i_{k}}$ 相交而被除去，這個球的半徑不大於 $B_{i_{k}}$ ，因此包含在 $3B_{i_{k}}$ 之內。

無限情形[編輯]

設這一族球的半徑的上確界為R。將這一族按半徑分成子集 ${\mathcal {F}}_{j}$ ，j為正整數； ${\mathcal {F}}_{j}$ 包含半徑在區間 $(R/2^{j},R/2^{j-1}]$ 的球。依次取 ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots$ 如下：

設 ${\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}$ 。取 ${\mathcal {G}}_{1}$ 為 ${\mathcal {F}}'_{1}$ 內互不相交球的子集之中的極大者，即其他在 ${\mathcal {F}}'_{1}$ 中的球都與這一子集中某個球相交。從佐恩引理知這樣的 ${\mathcal {G}}_{1}$ 存在，以下同。
設已取 ${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}$ ，k為某大於1的整數。設 ${\mathcal {F}}'_{k}$ 是 ${\mathcal {F}}_{k}$ 中不與 ${\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}$ 中任何球相交的全部球的子集。取 ${\mathcal {G}}_{k}$ 為 ${\mathcal {F}}'_{k}$ 內互不相交球的子集之中的極大者。

設 ${\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}$ 。任何其他的球B必在某一個 ${\mathcal {F}}'_{k}$ 中，因此這個球與 ${\mathcal {G}}_{k}$ 中一個球 $B'$ 相交，而 $B'$ 的半徑大於B的半徑的二分之一，故此B包含在 $5B'$ 之內。

討論[編輯]

因為有無限多球時，可能不存在半徑最大的球，所以在構造中，每一步選擇的球的半徑，只要求接近餘下的球的半徑的上確界。而結果中的5並非最佳常數。將 ${\mathcal {F}}_{j}$ 的定義中的 $2^{j},2^{j+1}$ 的2換成任何大於1的數c，那麼就可把結果中的5換成1+2c，即可以用任何大於3的數取代。不過由於未必有半徑最大的球，以致不能像有限多球時用3取代，以下是一個簡單例子。

例子[編輯]

在平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，給出如下的一族球：對每個正整數n， $B_{n}$ 是半徑為 $2-1/n$ 的閉球，若n為奇數， $B_{n}$ 的圓心在 $(2-1/n,0)$ ；若n為偶數，則圓心在 $(-2+1/n,0)$ 。所有球都包含原點(0,0)，故任意兩個球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2，然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個 $B_{n}$ 為這個子集，因有半徑更大的球 $B_{n+1}$ 在原點的另一側，故此 $3B_{n}$ 不覆蓋 $B_{n+1}$ 。