波向量

在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，${x}^{\mu }\,\!$或${x}_{\mu }\,\!$。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x)^{2}\,\!$表示$x\,\!$平方；而${x}^{2}\,\!$是${x}^{\mu }\,\!$的第二個分量。

波向量是波的向量表示方法。波向量是一個向量，其大小表示波數（$k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$），其方向表示波傳播的方向。

波向量在狹義相對論背景下可定義為四維矢量。

定義

參見：行波

正弦波波長λ可以通過測量相位相同的任意相鄰兩點間的距離得到，這兩點可以是相鄰的波峰、波谷或是如圖所示的零交點。

當波行進時，給定點的值以正弦作正弦振動。

波向量有兩種常見的定義，區別在於振幅因子是否乘以$2\pi$，兩種定義分別用於物理學和晶體學以及它們的相關領域。

物理學定義

理想的一維行波遵循如下方程式：

$\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )$

其中：

• x為位置；
• t為時間；
• $\psi$（x和t的函數）是對波進行描述的擾動（例如對於海浪，$\psi$是超出水面的高度；對於聲波，$\psi$是超氣壓）；
• A是波的振幅（振動的峰值）；
• $\varphi$是相位偏移，描述了兩個波互相之間不同步的程度；
• $\omega$是波的角頻率，描述了在一個給定點波振動的快慢程度；
• $k$是波數，與波長成反比，由$k=2\pi /\lambda$求出。

此波在+x方向上行進，相速度為$\omega /k$。

推廣到三維情況下，方程式為：

$\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)$

其中：

• r是三維空間中的位置矢量；
• $\cdot$ 是矢量點積；
• k是波向量。

這一方程式描述了平面波。一維情況下，波向量的大小是角波數$|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$。波向量的方向是平面波行進的方向。

晶體學定義

在晶體學中，描述相同的波的方程式略有不同。在一維和三維情況下的方程式分別為：

$\psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )$

$\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)$。

不同點在於：

• 晶體學定義使用了頻率$\nu$，而不是角頻率$\omega$，由公式$2\pi \nu =\omega$，二者可以相互轉換。這種置換主要反映了在晶體學中的常見應用。
• 波數k以及波向量k的定義方式不同。此處的$k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda$，而在物理學定義中，$k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$。

狹義相對論

接近單色光的波包可以由波向量

$k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,$

準確描述，若明確的改寫成共變和反變形式，則

$k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,$且

$k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{1},-k_{2},-k_{3}\right)\,$。

於是波向量的大小為

$k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}\,$

$={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,$

最後一步等於零是因為對於真空中的光滿足

$k={\frac {\omega }{c}}\,$

勞侖茲變換

對波向量作勞侖茲變換可導出相對論性都卜勒效應。勞侖茲矩陣定義為

$\Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$。

在光被快速移動的波源激發的情況下，若要在地球坐標系（實驗室坐標系）中檢定光的頻率，就要使用勞侖茲變換，如下所示。注意波源位於坐標系S ^s，地球位於觀測系S ^obs。 對波向量進行勞侖茲變換得到

$k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,$。

只考慮$\mu =0$分量的情況，得到

$k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,$。

${\frac {\omega _{s}}{c}}\,$	$=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,$
	$\quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta \,$ 其中$\cos \theta \,$是$k^{1}$關於$k^{0}$的方向餘弦$k^{1}=k^{0}\cos \theta$。

因此

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\,$

波源遠離觀測者

當波源徑直地遠離觀測者時，$\theta =\pi$，方程式變為：

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,$。

波源接近觀測者

當波源徑直地接近觀測者時，$\theta =0$，方程式變為：

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,$。

參考文獻

• Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.