模层

数学中，赋环空间$(X,\ O)$上O-模的层或O-模是层F，使得对开的$U\subseteq X$，$F(U)$是$O(U)$-模，$F(U)\to F(V)$的限制映射与$O(U)\to O(V)$的限制映射相容：$\forall f\in O(U),\ s\in F(U)$，fs的限制是f的限制乘以s的限制。

标准情况是当X是概形，O是其结构层。若O是常层${\underline {\mathbf {Z} }}$，则O-模的层等同于阿贝尔群层（即阿贝尔层）。

若X是环R的主谱，则R-模会自然地确定一个$O_{X}$-模，称作相关层。相似地，若R是分次环，X是R的射影构造，则分次模会自然地确定一个$O_{X}$-模。这样产生的$O_{X}$-模是准凝聚层的例子，事实上在仿射与射影概形上，所有准凝聚层都可这样生成。

赋环空间上的模层形成阿贝尔范畴。而且这范畴有足内射（enough injective），因此定义了层上同调$\operatorname {H} ^{i}(X,-)$，为全局截面函子$\Gamma (X,-)$的第i右导出函子。

例子

• 给定赋环空间$(X,\ O)$，若F是O的O-子模，则称之为O的理想层，因为对开的$U\subseteq X$，$F(U)$是环$O(U)$的理想。
• 设X为n维光滑簇，则X的切层是余切层$\Omega _{X}$的对偶，规范层$\omega _{X}$是$\Omega _{X}$的n次外幂。
• 代数层是模层，也是环层。

运算

设$(X,\ O)$为赋环空间。若F和G都是O-模，则它们的张量积

$F\otimes _{O}G$ or $F\otimes G$,

也是O-模，与预层$U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U)$相关联（计算$O(1)\otimes O(-1)=O$的全局截面，其中$O(1)$是射影空间上的塞尔扭曲层，如此可知层化是不可避免的）。

同样，若F、G都是O-模，则

${\mathcal {H}}om_{O}(F,G)$

表示作为层$U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})$的O-模。特别地，O-模

${\mathcal {H}}om_{O}(F,O)$

称作F的对偶模，记作${\check {F}}$。注意：对任意O-模E、F，都有规范同态

${\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)$,

若E是秩有限的局部自由层，则就是同构。特别地，若L局部自由且秩为1（称这样的L是可逆层或线丛 ），则有

${\check {L}}\otimes L\simeq O,$

这意味着可逆层的同构类构成群，称作X的皮卡第群，规范等同于第一上同调群$\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})$（由标准的切赫上同调论证）。

若E是秩有限的局部自由层，则有配对给出的O-线性映射${\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O$，称作E的迹映射。

对任意O-模F，其张量代数、外代数和对称代数的定义方式类似。例如，k次外幂

$\bigwedge ^{k}F$

是与预层${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$相关联的层。若F是秩为n的局部自由层，则${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$称作F的行列式（determinant）线丛（严格说是可逆层），记作${\rm {det}}(F)$。有自然的完美配对：

$\bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).$

设$f(X,\ O)\to (X',\ O')$是赋环空间之间的态射。若F是O-模，则直像层$f_{*}F$通过自然映射$O'\to f_{*}O$是O'-模（这样的自然映射是赋环空间态射数据的一部分）。

若G是O'-模，则G的模逆像$f^{*}G$是作为模的张量积的O-模：

$f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O$

其中$f^{-1}G$是G的逆像层，$f^{-1}O'\to O$由伴随从$O'\to f_{*}O$得到。

$f_{*}$和$f^{*}$之间有伴随关系：对任意O-模F、O'-模G，

$\operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)$

是阿贝尔群。还有射影公式：对O-模F、秩有限的局部自由O'-模E，

$f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.$

性质

令$(X,\ O)$是赋环空间。O-模F，若有O-模的满射：

$\bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.$

则称F是由全局截面生成的。明确地说，这意味着存在F的全局截面$s_{i}$使得$s_{i}$在每个茎$F_{x}$中的像生成了作为$O_{X}$-模的$F_{x}$。

代数几何中，R-模M（R是任意交换环）与环的谱${\rm {Spec}}(R)$相关联，就是这种层的一个例子。

另一个例子：据嘉当定理A，施坦流形上的凝聚层都是由全局截面张成的（参下列塞尔定理A）。在概形论中，一个相关概念是充足线丛（ample line buldle，例如若L是充足线丛，那么它的某个幂是由全局截面生成的）。

内射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射$F(U)\to F(V)$都是满射）。由于弛层在阿贝尔层范畴中是非周期性的，所以O-模范畴中的全局截面函子$\Gamma (X,-)$的第i右导出函子与通常的阿贝尔层范畴中的第i层上同调相重合。

与模相关联的层

令M是环A上的模。置$X=\operatorname {Spec} (A)$ and write $D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])$。对每对$D(f)\subseteq D(g)$，根据局部化的泛性质，有自然映射

$\rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]$

有性质$\rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}$。则

$D(f)\mapsto M[f^{-1}]$

是对象为集合$D(f)$、态射为集合包含的范畴，到阿贝尔群范畴的反变函子。可以证明它实际上是B-层（即其满足胶合公理），于是定义了X上的层${\widetilde {M}}$，称作与M相关联的层。

最基本的例子是X上的结构层，即${\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}$。此外，${\widetilde {M}}$具有${\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}$-模的结构，因此可得到A上模范畴${\rm {Mod}}A$到${\mathcal {O}}_{X}$上模范畴的正合函子$M\mapsto {\widetilde {M}}$。其定义了${\rm {Mod}}A$到X上准凝聚层范畴的等价，其逆$\Gamma (X,-)$是全局截面函子。X是诺特概形时，函子是从有限生成A-模到X上凝聚层范畴的等价。

此构造有以下性质：对任意A-模M、N与任意态射$\varphi :M\to N$，

• $M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}$.
• 对A的任意素理想，${\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}$作为$O_{p}=A_{p}$-模。
• $(M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}$.
• 若M是有限表示模，$\operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})$.
• 由于${\rm {Mod}}_{A}$与X上准凝聚层范畴间的等价关系，$\operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))$。
• $(\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}$;特别是，取直和与~交换。
• 当且仅当$\sim$的诱导序列正合，称A-模序列正合。特别地，$(\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})$.

与分次模相关联的层

上一节中的构造与等价有一个分次类似物。令R是由$R_{0}$-代数（$R_{0}$表示度为0的元素）的度为1的元素生成的分次环，M是分次R-模。令X是R的射影构造（于是若R不是诺特环，则X是射影概形），则有O-模${\widetilde {M}}$，使得对R的度数为正的任意齐次元f，有自然同构

${\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }$

作为仿射概形$\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})$上的模层；实际上，这通过胶合定义了${\widetilde {M}}$。

例子：令$R(1)$为分次R-模：$R(1)_{n}=R_{n+1}$，则$O(1)={\widetilde {R(1)}}$称作塞尔扭曲层，若R次数为1、是有限生成的，则塞尔扭曲层是重言线丛的对偶。

若F是X上的O-模，则$F(n)=F\otimes O(n)$就有规范同态：

$\left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,$

当且仅当F是准凝聚层时，它是同构。

计算层上同调

主条目：层上同调

层上同调以难以计算而闻名。正因如此，下面的一般事实对任何实际计算都是重要的：

定理 — 令X是拓扑空间，F是其上的阿贝尔层，${\mathfrak {U}}$是X的开覆盖，使得$\forall i,\ p,\ U_{i_{j}}\in {\mathfrak {U}},\ \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0$。则对任意i，

$\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))$

其中右式是第i切赫上同调。

塞尔消失定理指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚层，则对足够大的n，塞尔扭曲$F(n)$由有限多全局截面生成。此外，

• $\forall i,\ H^{i}(X,\ F)$是在$R_{0}$上有限生成的；
• 有取决于F的整数$n_{0}$使得

$$\operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.$$

层扩张

令$(X,\ O)$是赋环空间，F、H是X上O-模的层。H对F的扩张是O-模的短正合列

$0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.$

与群扩张一样，若固定F、H，则H对F扩张的所有等价类构成阿贝尔群（参Baer和），其与Ext群$\operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)$同构，当中$\operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)$中的幺元对应平凡扩张。

H是O的情形下，有：$\forall i\geq 0,$

$\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),$

因为两侧是同一个函子$\Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-)$的右导出函子。

注: Hartshorne等学者不写下标O。

设X是诺特环上的射影概形。令F、G是X上的凝聚层，i是整数，则存在$n_{0}$使得

$\operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}$.

局部自由消解

${\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$对任何凝聚层${\mathcal {F}}$都可用局部自由消解轻松计算：给定复形

$\cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0$

则

${\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})$

于是

${\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))$

例子

超曲面

考虑度数为d的光滑超曲面X，则可计算消解

${\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}$

并发现

${\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))$

光滑完全交的并

考虑概形

$X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}$

其中$(f,g_{1},g_{2},g_{3})$是光滑完全交，$\deg(f)=d,\ \deg(g_{i})=e_{i}$。则有复形

${\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}$

消解了${\mathcal {O}}_{X}$，可用于计算${\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})$。

另见

• D-模
• 分式理想
• 全纯向量丛

参考文献

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778. 
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan. Ulrich Bundles. 2021. ISBN 9783110647686. doi:10.1515/9783110647686. 
• Links with sheaf cohomology. Local Cohomology. 2012: 438–479. ISBN 9780521513630. doi:10.1017/CBO9781139044059.023. 
• Serre, Jean-Pierre, Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.) (PDF), Annals of Mathematics, 1955, 61 (2): 197–278, JSTOR 1969915, MR 0068874, doi:10.2307/1969915