模層

數學中，賦環空間$(X,\ O)$上O-模的層或O-模是層F，使得對開的$U\subseteq X$，$F(U)$是$O(U)$-模，$F(U)\to F(V)$的限制映射與$O(U)\to O(V)$的限制映射相容：$\forall f\in O(U),\ s\in F(U)$，fs的限制是f的限制乘以s的限制。

標準情況是當X是概形，O是其結構層。若O是常層${\underline {\mathbf {Z} }}$，則O-模的層等同於阿貝爾群層（即阿貝爾層）。

若X是環R的主譜，則R-模會自然地確定一個$O_{X}$-模，稱作相關層。相似地，若R是分次環，X是R的射影構造，則分次模會自然地確定一個$O_{X}$-模。這樣產生的$O_{X}$-模是准凝聚層的例子，事實上在仿射與射影概形上，所有準凝聚層都可這樣生成。

賦環空間上的模層形成阿貝爾範疇。而且這範疇有足內射（enough injective），因此定義了層上同調$\operatorname {H} ^{i}(X,-)$，為全局截面函子$\Gamma (X,-)$的第i右導出函子。

例子

• 給定賦環空間$(X,\ O)$，若F是O的O-子模，則稱之為O的理想層，因為對開的$U\subseteq X$，$F(U)$是環$O(U)$的理想。
• 設X為n維光滑簇，則X的切層是餘切層$\Omega _{X}$的對偶，規範層$\omega _{X}$是$\Omega _{X}$的n次外冪。
• 代數層是模層，也是環層。

運算

設$(X,\ O)$為賦環空間。若F和G都是O-模，則它們的張量積

$F\otimes _{O}G$ or $F\otimes G$,

也是O-模，與預層$U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U)$相關聯（計算$O(1)\otimes O(-1)=O$的全局截面，其中$O(1)$是射影空間上的塞爾扭曲層，如此可知層化是不可避免的）。

同樣，若F、G都是O-模，則

${\mathcal {H}}om_{O}(F,G)$

表示作為層$U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})$的O-模。特別地，O-模

${\mathcal {H}}om_{O}(F,O)$

稱作F的對偶模，記作${\check {F}}$。注意：對任意O-模E、F，都有規範同態

${\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)$,

若E是秩有限的局部自由層，則就是同構。特別地，若L局部自由且秩為1（稱這樣的L是可逆層或線叢 ），則有

${\check {L}}\otimes L\simeq O,$

這意味着可逆層的同構類構成群，稱作X的皮卡第群，規範等同於第一上同調群$\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})$（由標準的切赫上同調論證）。

若E是秩有限的局部自由層，則有配對給出的O-線性映射${\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O$，稱作E的跡映射。

對任意O-模F，其張量代數、外代數和對稱代數的定義方式類似。例如，k次外冪

$\bigwedge ^{k}F$

是與預層${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$相關聯的層。若F是秩為n的局部自由層，則${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$稱作F的行列式（determinant）線叢（嚴格說是可逆層），記作${\rm {det}}(F)$。有自然的完美配對：

$\bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).$

設$f(X,\ O)\to (X',\ O')$是賦環空間之間的態射。若F是O-模，則直像層$f_{*}F$通過自然映射$O'\to f_{*}O$是O'-模（這樣的自然映射是賦環空間態射數據的一部分）。

若G是O'-模，則G的模逆像$f^{*}G$是作為模的張量積的O-模：

$f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O$

其中$f^{-1}G$是G的逆像層，$f^{-1}O'\to O$由伴隨從$O'\to f_{*}O$得到。

$f_{*}$和$f^{*}$之間有伴隨關係：對任意O-模F、O'-模G，

$\operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)$

是阿貝爾群。還有射影公式：對O-模F、秩有限的局部自由O'-模E，

$f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.$

性質

令$(X,\ O)$是賦環空間。O-模F，若有O-模的滿射：

$\bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.$

則稱F是由全局截面生成的。明確地說，這意味着存在F的全局截面$s_{i}$使得$s_{i}$在每個莖$F_{x}$中的像生成了作為$O_{X}$-模的$F_{x}$。

代數幾何中，R-模M（R是任意交換環）與環的譜${\rm {Spec}}(R)$相關聯，就是這種層的一個例子。

另一個例子：據嘉當定理A，施坦流形上的凝聚層都是由全局截面張成的（參下列塞爾定理A）。在概形論中，一個相關概念是充足線叢（ample line buldle，例如若L是充足線叢，那麼它的某個冪是由全局截面生成的）。

內射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射$F(U)\to F(V)$都是滿射）。由於弛層在阿貝爾層範疇中是非周期性的，所以O-模範疇中的全局截面函子$\Gamma (X,-)$的第i右導出函子與通常的阿貝爾層範疇中的第i層上同調相重合。

與模相關聯的層

令M是環A上的模。置$X=\operatorname {Spec} (A)$ and write $D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])$。對每對$D(f)\subseteq D(g)$，根據局部化的泛性質，有自然映射

$\rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]$

有性質$\rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}$。則

$D(f)\mapsto M[f^{-1}]$

是對象為集合$D(f)$、態射為集合包含的範疇，到阿貝爾群範疇的反變函子。可以證明它實際上是B-層（即其滿足膠合公理），於是定義了X上的層${\widetilde {M}}$，稱作與M相關聯的層。

最基本的例子是X上的結構層，即${\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}$。此外，${\widetilde {M}}$具有${\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}$-模的結構，因此可得到A上模範疇${\rm {Mod}}A$到${\mathcal {O}}_{X}$上模範疇的正合函子$M\mapsto {\widetilde {M}}$。其定義了${\rm {Mod}}A$到X上准凝聚層範疇的等價，其逆$\Gamma (X,-)$是全局截面函子。X是諾特概形時，函子是從有限生成A-模到X上凝聚層範疇的等價。

此構造有以下性質：對任意A-模M、N與任意態射$\varphi :M\to N$，

• $M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}$.
• 對A的任意素理想，${\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}$作為$O_{p}=A_{p}$-模。
• $(M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}$.
• 若M是有限表示模，$\operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})$.
• 由於${\rm {Mod}}_{A}$與X上准凝聚層範疇間的等價關係，$\operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))$。
• $(\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}$;特別是，取直和與~交換。
• 若且唯若$\sim$的誘導序列正合，稱A-模序列正合。特別地，$(\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})$.

與分次模相關聯的層

上一節中的構造與等價有一個分次類似物。令R是由$R_{0}$-代數（$R_{0}$表示度為0的元素）的度為1的元素生成的分次環，M是分次R-模。令X是R的射影構造（於是若R不是諾特環，則X是射影概形），則有O-模${\widetilde {M}}$，使得對R的度數為正的任意齊次元f，有自然同構

${\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }$

作為仿射概形$\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})$上的模層；實際上，這通過膠合定義了${\widetilde {M}}$。

例子：令$R(1)$為分次R-模：$R(1)_{n}=R_{n+1}$，則$O(1)={\widetilde {R(1)}}$稱作塞爾扭曲層，若R次數為1、是有限生成的，則塞爾扭曲層是重言線叢的對偶。

若F是X上的O-模，則$F(n)=F\otimes O(n)$就有規範同態：

$\left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,$

若且唯若F是准凝聚層時，它是同構。

計算層上同調

主條目：層上同調

層上同調以難以計算而聞名。正因如此，下面的一般事實對任何實際計算都是重要的：

定理 — 令X是拓撲空間，F是其上的阿貝爾層，${\mathfrak {U}}$是X的開覆蓋，使得$\forall i,\ p,\ U_{i_{j}}\in {\mathfrak {U}},\ \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0$。則對任意i，

$\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))$

其中右式是第i切赫上同調。

塞爾消失定理指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚層，則對足夠大的n，塞爾扭曲$F(n)$由有限多全局截面生成。此外，

• $\forall i,\ H^{i}(X,\ F)$是在$R_{0}$上有限生成的；
• 有取決於F的整數$n_{0}$使得

$$\operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.$$

層擴張

令$(X,\ O)$是賦環空間，F、H是X上O-模的層。H對F的擴張是O-模的短正合列

$0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.$

與群擴張一樣，若固定F、H，則H對F擴張的所有等價類構成阿貝爾群（參Baer和），其與Ext群$\operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)$同構，當中$\operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)$中的么元對應平凡擴張。

H是O的情形下，有：$\forall i\geq 0,$

$\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),$

因為兩側是同一個函子$\Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-)$的右導出函子。

注: Hartshorne等學者不寫下標O。

設X是諾特環上的射影概形。令F、G是X上的凝聚層，i是整數，則存在$n_{0}$使得

$\operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}$.

局部自由消解

${\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$對任何凝聚層${\mathcal {F}}$都可用局部自由消解輕鬆計算：給定復形

$\cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0$

則

${\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})$

於是

${\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))$

例子

超曲面

考慮度數為d的光滑超曲面X，則可計算消解

${\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}$

並發現

${\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))$

光滑完全交的並

考慮概形

$X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}$

其中$(f,g_{1},g_{2},g_{3})$是光滑完全交，$\deg(f)=d,\ \deg(g_{i})=e_{i}$。則有復形

${\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}$

消解了${\mathcal {O}}_{X}$，可用於計算${\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})$。

另見

• D-模
• 分式理想
• 全純向量叢

參考文獻

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778. 
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan. Ulrich Bundles. 2021. ISBN 9783110647686. doi:10.1515/9783110647686. 
• Links with sheaf cohomology. Local Cohomology. 2012: 438–479. ISBN 9780521513630. doi:10.1017/CBO9781139044059.023. 
• Serre, Jean-Pierre, Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.) (PDF), Annals of Mathematics, 1955, 61 (2): 197–278, JSTOR 1969915, MR 0068874, doi:10.2307/1969915