在数学中,微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上,将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的,它接受一个函数得到另一个函数(以计算机科学中高阶函数的方式)。
当然有理由不单限制于线性算子;例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性的情形。
记号
最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括:
![{\displaystyle {d \over dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff09b8cc3af028ea60facfb77f5c74e847b36e6)
,这里关于哪个变量微分是清楚的,以及
,这里指明了变量。
一阶导数如上所示,但当取更高阶n-次导数时,下列替代性记号是有用的:
![{\displaystyle d^{n} \over dx^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3429b4f496d8f6ff83793fed76f3f3ba348365)
![{\displaystyle D^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2303f762ed832af70154f7f9d06a6a7b673c5085)
![{\displaystyle D_{x}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c04aa91e9e84fcd59409af44839265596fb66b7)
记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛,他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16434e8d204c2a2ac40df8d32f5db2dcc965c817)
另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子,定义为
![{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0d4d68129a19ab8ba1d4536615bdc138650d50)
另一个微分算子是Θ算子,定义为
![{\displaystyle \Theta =z{d \over dz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f049f6f3882d9e2fa560944460ab5c833f1505)
有时候这也称为齐次算子,因为它的本征函数是关于z的单项式:
![{\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb6891df5949aace48987d7d17c0ea77f110234)
在n个变量中齐次算子由
![{\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2dd8df96104dceb52ea44b117032d0490369b3)
给出。与单变量一样,Θ的本征空间是齐次多项式空间。
一个算子的伴随
给定一个线性微分算子T
,
这个算子的伴随定义为算子
使得
![{\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77f03211f61d51c55b1a949914f58f055cf2afd)
这里记号
表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。
单变量中的形式伴随
在平方可积函数空间中,数量积定义为
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58bfd3d355845c0896feb8ea355f54481c3ba60)
如果另外增添要求f或g当
与
等于零,我们也可定义T的伴随为
![{\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f2d1d862f7875f6a00fee5dbfb02fe966960ee)
此公式不明显地取决于数量积的定义,故有时作为伴随算子的一个定义。当
用这个公式定义时,它称为T的形式伴随。
一个(形式)自伴算子是与它的(形式)伴随相等的算子。
多变量
如果Ω是Rn中一个区域,而P是Ω上一个微分算子,则P在L2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义:
![{\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082767411a6bcd52b1cd4c26e8bc09b39f8213fa)
对所有光滑L2函数f与g。因为光滑函数在L2中是稠密的,这在L2的一个稠密子集上定义了伴随:: P*是一个稠定算子。
例子
施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式
![{\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c584da7082a2d80f644699cdcc49f33d74d2083b)
这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。
![{\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f14429d10c7b73597f1f385bbb6d50c8b3517d9)
这个算子在施图姆-刘维尔理论(Sturm–Liouville theory)
中的关键,其中考虑了这个算子本征函数(类比于本征向量)。
微分算子的性质
微分是线性的,即
![{\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4ec737f2ad3713af29b2bc0a4155761d26ab95)
![{\displaystyle D(af)=a(Df)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6defb634d670905690fb6f74708fa81087daa5c0)
这里f和g是函数,而a是一个常数。
任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则
![{\displaystyle (D_{1}\circ D_{2},f)=D_{1}(D_{2}(f))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173cb5b5c3198faa658043191542b51306660379)
复合微分算子。需要一些注意:首先算子D2中的任何函数系数必须具有D1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环,我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二,这个环不是交换的:一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例,如在量子力学中的基本关系:
![{\displaystyle Dx-xD=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d149d37acded88b684943d9e0628e8bc5c353662)
但这些算子的子环:D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画:它由平移不变算子组成。
微分算子也服从移位定理(shift theorem)。
多变量
同样的构造可对偏导数也成立,关于不同的变量微分给出可交换的算子(参见二阶导数的对称性)。
坐标无关描述以及与交换代数的关系
在微分几何与代数几何中,通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设
与
是流形
上两个向量丛。截面的一个
-线性映射
称为一个k-阶微分算子,如果它分解穿过节丛
。换句话说,存在一个向量丛的线性映射
![{\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe32cbf02c3318584e860d7374bdef9e49b23b7)
使得
![{\displaystyle P={\hat {i}}_{P}\circ j^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02610a5bf8d8eb1085459c791884bc0d1bda826)
这里
表示由
,在截面上诱导的映射,而
,是典范(或通用)k-阶微分算子。
这恰好意味着对一个给定的截面
of
,
在一个点
的值完全由
在
的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着
由
在
的芽决定,这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理(Peetre theorem)证明了逆命题也是正确的:任何局部算子是微分。
线性微分算子的一个等价的,但纯代数的描述如下:
一个
-线性映射
是一个k-阶微分算子,如果对任何(k + 1)阶光滑函数
我们有
![{\displaystyle [f_{k}[f_{k-1}[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7a361625d14417e97de4e0c3f62bf300a2a893)
这里括号
定义为交换子
![{\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9417ee815b95cee52dd7f2728f5a9ca5624b999)
线性算子的这个刻画说明,它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射,使这个概念可视为交换代数的一部分。
例子
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