积分变换

積分變換（integral transform）是數學中作用于函数的算子，用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換﹑拉普拉斯變換等。

概述

以一變數為 $t$ 的函數 $f(t)$ 為例， $f(t)$ 經過一積分轉換 $T$ 得到 $Tf(u)$ ：

(Tf)(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt

其中 $K$ 是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的核函數（kernel function）或核（nucleus）。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。 $f(t)$ 称为象原函数， $Tf(u)$ 称为 $f(t)$ 的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換（inverse transform），使得

f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf)(u)\,du

而 $K^{-1}(u,t)$ 稱為反核（inverse kernel）。

積分變換表

積分變換	符號	核 $K$	f(t)	t₁	t₂	反核 $K^{-1}$	u₁	u₂
傅立葉變換	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$L_{1}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
傅立葉正弦變換	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$
傅立葉餘弦變換	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$
Hartley变换（英语：Hartley transform）	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
Mellin变换	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}\,$		$0\,$	$\infty \,$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
双边拉普拉斯变换	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}\,$		$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
拉普拉斯变换	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}\,$		$0\,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
魏尔斯特拉斯变换（英语：Weierstrass transform）	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Hankel变换		$t\,J_{\nu }(ut)$		$0\,$	$\infty \,$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
阿贝尔积分变换（英语：Abel transform）		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		$u\,$	$\infty \,$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	$t\,$	$\infty \,$
希爾伯特轉換	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
泊松核（英语：Poisson kernel）		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		$0\,$	$2\pi \,$
狄拉克δ函数		$\delta (u-t)\,$		$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。

参见