立方体半形

皮特里四面体
	以不同颜色表示每个面
类别	皮特里对偶; 正则地区图
对偶多面体	八面体半形
数学表示法
施莱夫利符号	{3,3}π; {4,3}3
性质
面	3
边	6
顶点	4
欧拉特征数	F=3, E=6, V=4 （χ=1）
二面角	(不存在)
对称性
对称群	Td, [3,3], *332
特性
	扭歪、正则
	查; 论; 编;

立方体半形
类别	抽象多胞形（英语：Abstract polytope）; 射影多面体（英语：projective polyhedron）
对偶多面体	八面体半形
原像	立方体（半形体）
名称	立方体半形; hemicube
数学表示法
施莱夫利符号	{4,3}/2; {4,3}3
性质
面	3
边	6
顶点	4
欧拉特征数	F=3, E=6, V=4 （χ=1）
组成与布局
面的种类	正方形
顶点图	4.4.4
对称性
对称群	S4, 24阶
特性
	不可定向、欧拉示性数为1
图像
	; 4.4.4; （顶点图）
	; 八面体半形; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在抽象几何学中，立方体半形是一种仅由一半数量的立方体面构成的抽象多面体。这个抽象多面体与立方体类似，它们的每个顶点都是3个正方形的公共顶点，然而立方体有6个面，而立方体半形仅有3个面；同时，这个立体无法嵌入在三维欧几里得空间中^[2]。在拓朴学上，其可以视为正四面体的皮特里对偶^[3]。

性质

立方体半形由3个面、6条边和4个顶点组成，每个面都是正方形，且每个顶点都是3个正方形的公共顶点，在施莱夫利符号中可以用{4,3}/2或{4,3}₃来表示，其中{4,3}代表且每个顶点都是3个正方形的公共顶点^[4]，然而{4,3}代表正常的立方体，即正六面体，因此用“/2”符号来表示所有元素都仅有立方体的一半数量^[5]^[6]。

立方体半形的对偶多面体为正八面体半形，这个在更高维度的类比结构中同样成立，即 $n+1$ 维超方形半形（施莱夫利符号： ${\left\{4,3^{n-1}\right\}}_{n+1}$ ）的对偶多胞形为 $n+1$ 维正轴形半形（施莱夫利符号： ${\left\{3^{n-1},4\right\}}_{n+1}$ ）。^[5]^[6]

特别地，这个立体的每个面皆与相邻面共用2条边，且每个面都包含了立体中所有顶点。一般而言，多胞形的面可以透过其点集来决定^[7]，也就是说，一般不会存在2个相异面点集合相同的情况，因此这个立体是面无法仅从点集来确定的抽象多面体的例子之一。

构造

立方体半形可从有公共顶点的半个立方体（即三个面，下图的I、II、III）开始构造。此形状的边界为一个六边形，然后下一步是将此六条边分成三组对边（下图的4、5、6），将每对边（沿同一方向，例如顺时针）黏合，就得到立方体半形^[4]。这样的构建方式使用了正四面体的骨架^[8]，同时其构成的面不会共面^[4]，其与正四面体的皮特里多边形相同，其骨架在图论中对应到四面体图，可以视为K₄完全图嵌入于射影平面上的结果。^[4]

立方体半形	K₄完全图	皮特里四面体

具象化

立方体半形可被视为是射影多面体（英语：projective polyhedron）（可视为由三个四边形构成的实射影平面镶嵌）^[9]。要将其视觉化，可以透过将射影平面构筑为一个半球体，并过半球体的边界连接对跖点，同时确保连接的部分能将半球体平均分割成三等份。

立方体半形和半立方体不同，立方体半形是一个射影多面体（英语：projective polyhedron），且无法嵌入在三维欧几里得空间中^[2]；而半立方体是一个位于三维欧几里德空间中的普通多面体。虽然它们的顶点数皆为立方体的一半，立方体半形可以视为立方体的商空间，而半立方体则不是，半立方体只有顶点为立方体顶点的子集。

皮特里四面体

皮特里四面体是正四面体的皮特里对偶^[1]^[10]。在拓朴学上，这个结构与立方体半形同构，并可以视为立方体半形的一种具象化方式^[4]。相对的立方体半形的皮特里对偶为正四面体，这意味着其皮特里多边形可以与半立方体（此例对应正四面体）的面对应^[11]。也就是说，立方体半形和正四面体互为皮特里对偶。^[1]^[10]

皮特里四面体由3个面、6条边和4个顶点组成，其中，3个面皆为正四面体的皮特里多边形。正四面体的皮特里多边形是一个扭歪四边形。^[12]由于皮特里四面体由扭歪四边形组成^[13]，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。^[14]

皮特里四面体是一个不可定向且欧拉示性数为1的几何结构^[1]。

正四面体的皮特里多边形	构成皮特里立方体的扭歪四边形面

皮特里四面体的顶点、边和面数皆为立方体的一半，因此皮特里四面体可以被立方体（的表面）二重复盖^[1]。皮特里四面体的对偶多面体为八面体半形^[1]。皮特里四面体可以截半为截半立方体半形^[1]^[15]。

皮特里四面体	以正则地区图表示的皮特里四面体	皮特里四面体的对偶多面体以正则地区图表示

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
^ ^2.0 ^2.1 Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.
^ Pellicer, D, Gráficas cpr y polytopos abstractos regulares (PDF), Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, 2007 [2021-07-31], （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）
^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA. 2007: 159–166 [2021-08-04]. （原始内容存档于2021-08-04）.
^ ^5.0 ^5.1 Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients (PDF). arXiv preprint math/0310429. 2003 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.
^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
^ Kaibel, Volker and Pfetsch, Marc E. Computing the face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences (PDF). Computational Geometry (Elsevier). 2002, 23 (3): 281–290 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.
^ Carlo H. Séquin. Sculpture designs and math models. University of California, Berkeley. [2021-07-31]. （原始内容存档于2021-10-22）. "Ribbed Hemicube" (June 2007) - 5"
^ Helfand, Ilanit, Constructions of k-orbit Abstract Polytopes, Northeastern University, 2013
^ ^10.0 ^10.1 The tetrahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-08-23）.
^ Bracho, Javier and Hubard, Isabel and Pellicer, Daniel. A Finite Chiral 4-Polytope in $\mathbb {R} ^{4}$ . Discrete & Computational Geometry (Springer). 2014, 52 (4): 799––805.
^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966
^ Barnard, L., Aro -- Healing Touching Lives -- Theories, Techniques and Therapies: The Techniques and Therapies of Aro-Healing, Xlibris UK, 2014 [2021-07-31], ISBN 9781483631646, （原始内容存档于2021-07-31）
^ Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-01-26）.
^ Regular maps in the orientable surface of genus 0. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始内容存档于2021-10-19）.

外部链接

立方体半形（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Regular_Map_Petrial_tetrahedron-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.

[Mark_Mixer_2009-4] 2.0 ^2.1 Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.

[phdthesis_pellicer2007graficas-5] Pellicer, D, Gráficas cpr y polytopos abstractos regulares (PDF), Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, 2007 [2021-07-31], （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）

[article_sequin2007hyperseeing-6] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA. 2007: 159–166 [2021-08-04]. （原始内容存档于2021-08-04）.

[article_hartley2003classification-7] 5.0 ^5.1 Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients (PDF). arXiv preprint math/0310429. 2003 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.

[Abstract_Regular_Polytopes_2002-8] 6.0 ^6.1 ^6.2 McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0

[article_kaibel2002computing-9] Kaibel, Volker and Pfetsch, Marc E. Computing the face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences (PDF). Computational Geometry (Elsevier). 2002, 23 (3): 281–290 [2021-07-31]. （原始内容 (PDF)存档于2021-08-06）.

[Carlo_H._Séquin-10] Carlo H. Séquin. Sculpture designs and math models. University of California, Berkeley. [2021-07-31]. （原始内容存档于2021-10-22）. "Ribbed Hemicube" (June 2007) - 5"

[phdthesis_helfand2013constructions-11] Helfand, Ilanit, Constructions of k-orbit Abstract Polytopes, Northeastern University, 2013

[Regular_Map_tetrahedron-14] 10.0 ^10.1 The tetrahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-08-23）.

[article_bracho2014finite-15] Bracho, Javier and Hubard, Isabel and Pellicer, Daniel. A Finite Chiral 4-Polytope in $\mathbb {R} ^{4}$ . Discrete & Computational Geometry (Springer). 2014, 52 (4): 799––805.

[16] Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647

[17] McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966

[book_barnard2014aro-18] Barnard, L., Aro -- Healing Touching Lives -- Theories, Techniques and Therapies: The Techniques and Therapies of Aro-Healing, Xlibris UK, 2014 [2021-07-31], ISBN 9781483631646, （原始内容存档于2021-07-31）

[Regular_Map_Hemi-cuboctahedron-19] Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-01-26）.

[Regular_Map_genus_0-20] Regular maps in the orientable surface of genus 0. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始内容存档于2021-10-19）.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

性质

构造

具象化

皮特里四面体

相关多面体

参考资料

外部链接