立方体半形

皮特里四面体
	以不同颜色表示每个面
类别	皮特里对偶; 正则地区图
对偶多面体	八面体半形
数学表示法
施莱夫利符号	{3,3}π; {4,3}3
性质
面	3
边	6
顶点	4
欧拉特征数	F=3, E=6, V=4 （χ=1）
二面角	(不存在)
对称性
对称群	Td, [3,3], *332
特性
	扭歪、正则
	查; 论; 编;

立方体半形
类别	抽象多胞形（英语：Abstract polytope）; 射影多面体（英语：projective polyhedron）
对偶多面体	八面体半形
原像	立方体（半形体）
名称	立方体半形; hemicube
数学表示法
施莱夫利符号	{4,3}/2; {4,3}3
性质
面	3
边	6
顶点	4
欧拉特征数	F=3, E=6, V=4 （χ=1）
组成与布局
面的种类	正方形
顶点图	4.4.4
对称性
对称群	S4, 24阶
特性
	不可定向、欧拉示性数为1
图像
	; 4.4.4; （顶点图）
	; 八面体半形; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在抽象几何学中，立方体半形是一种仅由一半数量的立方体面构成的抽象多面体。这个抽象多面体与立方体类似，它们的每个顶点都是3个正方形的公共顶点，然而立方体有6个面，而立方体半形仅有3个面；同时，这个立体无法嵌入在三维欧几里得空间中^[2]。在拓朴学上，其可以视为正四面体的皮特里对偶^[3]。

性质

立方体半形由3个面、6条边和4个顶点组成，每个面都是正方形，且每个顶点都是3个正方形的公共顶点，在施莱夫利符号中可以用{4,3}/2或{4,3}₃来表示，其中{4,3}代表且每个顶点都是3个正方形的公共顶点^[4]，然而{4,3}代表正常的立方体，即正六面体，因此用“/2”符号来表示所有元素都仅有立方体的一半数量^[5]^[6]。

立方体半形的对偶多面体为正八面体半形，这个在更高维度的类比结构中同样成立，即 $n+1$ 维超方形半形（施莱夫利符号： ${\left\{4,3^{n-1}\right\}}_{n+1}$ ）的对偶多胞形为 $n+1$ 维正轴形半形（施莱夫利符号： ${\left\{3^{n-1},4\right\}}_{n+1}$ ）。^[5]^[6]

特别地，这个立体的每个面皆与相邻面共用2条边，且每个面都包含了立体中所有顶点。一般而言，多胞形的面可以透过其点集来决定^[7]，也就是说，一般不会存在2个相异面点集合相同的情况，因此这个立体是面无法仅从点集来确定的抽象多面体的例子之一。

构造

立方体半形可从有公共顶点的半个立方体（即三个面，下图的I、II、III）开始构造。此形状的边界为一个六边形，然后下一步是将此六条边分成三组对边（下图的4、5、6），将每对边（沿同一方向，例如顺时针）黏合，就得到立方体半形^[4]。这样的构建方式使用了正四面体的骨架^[8]，同时其构成的面不会共面^[4]，其与正四面体的皮特里多边形相同，其骨架在图论中对应到四面体图，可以视为K₄完全图嵌入于射影平面上的结果。^[4]

立方体半形	K₄完全图	皮特里四面体

具象化

立方体半形可被视为是射影多面体（英语：projective polyhedron）（可视为由三个四边形构成的实射影平面镶嵌）^[9]。要将其视觉化，可以透过将射影平面构筑为一个半球体，并过半球体的边界连接对跖点，同时确保连接的部分能将半球体平均分割成三等份。

立方体半形和半立方体不同，立方体半形是一个射影多面体（英语：projective polyhedron），且无法嵌入在三维欧几里得空间中^[2]；而半立方体是一个位于三维欧几里德空间中的普通多面体。虽然它们的顶点数皆为立方体的一半，立方体半形可以视为立方体的商空间，而半立方体则不是，半立方体只有顶点为立方体顶点的子集。

皮特里四面体

皮特里四面体是正四面体的皮特里对偶^[1]^[10]。在拓朴学上，这个结构与立方体半形同构，并可以视为立方体半形的一种具象化方式^[4]。相对的立方体半形的皮特里对偶为正四面体，这意味著其皮特里多边形可以与半立方体（此例对应正四面体）的面对应^[11]。也就是说，立方体半形和正四面体互为皮特里对偶。^[1]^[10]

皮特里四面体由3个面、6条边和4个顶点组成，其中，3个面皆为正四面体的皮特里多边形。正四面体的皮特里多边形是一个扭歪四边形。^[12]由于皮特里四面体由扭歪四边形组成^[13]，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。^[14]

皮特里四面体是一个不可定向且欧拉示性数为1的几何结构^[1]。

正四面体的皮特里多边形	构成皮特里立方体的扭歪四边形面

皮特里四面体的顶点、边和面数皆为立方体的一半，因此皮特里四面体可以被立方体（的表面）二重复盖^[1]。皮特里四面体的对偶多面体为八面体半形^[1]。皮特里四面体可以截半为截半立方体半形^[1]^[15]。

皮特里四面体	以正则地区图表示的皮特里四面体	皮特里四面体的对偶多面体以正则地区图表示

参考资料

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外部链接

立方体半形（页面存档备份，存于互联网档案馆）

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相关多面体

参考资料

外部链接