随机分析
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随机分析(stochastic calculus)是对随机过程进行运算的概率论分支,主要内容有伊藤积分、随机微分方程(又包括随机偏微分方程和倒向随机微分方程)等等。
随机性模型是指含有随机成份的模型。与确定性模型的不同可以很好地用以下例子解释:在赌场里赌大小,如果有人认为三次连开大第四次必然开小,那么此人所用的既是确定性模型。但是常识告诉我们第四次的结果并不一定与之前的结果相关联。在19世纪科学界深深地被黑天鹅效应和卡尔·波普尔的批判理性主义所影响。所以现代自然科学都以统计与归纳法作为理论基础。大体说统计学是适用确定性模型与随机性模型作比较的一门学科。
应用随机分析的最知名的随机过程是维纳过程(得名于诺伯特·维纳),用于模拟Louis Bachelier(1900)和爱因斯坦(1905)描述的布朗运动及受随机力作用的粒子在空间的其他扩散过程。1970年代以来,维纳过程被广泛用于金融数学和经济学中,以模拟股价和债券利率随时间演化的过程。
随机分析的主要形式是伊藤积分及其变分法相对的马利阿温积分。由于技术原因,伊藤积分对一般过程最有用,但相关的随机积分在问题的表述(尤其是工科)中也经常有用。随机积分可以很容易地转化为伊藤积分,反之亦然。随机积分的主要优点是遵循通常的链式法则,不需要伊藤引理,使问题可以用不变坐标系表达,这对于在Rn以外的流形上发展随机分析非常重要。 但是,随机积分不遵循控制收敛定理;因此,若不以伊藤形式重新表达积分,就很难证明结果。
伊藤积分
[编辑]伊藤积分是随机分析研究的核心。是为半鞅X和局部有界可预测过程H定义的。[来源请求]
随机积分
[编辑]半鞅对另一个半鞅Y 的随机积分,或Fisk–Stratonovich积分可用伊藤积分表示为
其中[X, Y]tc表示X、Y的连续部分的二次协方差。代替的写法是
也用于表示随机积分。
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